初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线巩固练习，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列语句中，真命题的个数是（ ）
画直线垂直于直线；
若，则；
两直线平行，同旁内角相等；
直线，相交于点；
等角的余角相等；
三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点，
A．B．C．D．
2．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ）
A．B．C．D．
4．嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：

嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线
琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线
对于两人的画法，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．嘉嘉对，琪琪不对D．嘉嘉不对，琪琪对
5．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
6．点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
7．我们知道：三角形的三条角平分线交于一点．如图，要证明三角形的三条角平分线交于一点，慧慧、明明同学分别进行了如下分析：
慧慧分析：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．明明分析：明明用下面框图分析如下，
下面四个选项中说法正确的是（ ）
A．慧慧分析正确，明明分析错误．B．慧慧分析错误，明明分析正确．
C．慧慧、明明的分析都正确．D．慧慧、明明的分析都错误．
8．在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（）
A．点在的平分线上B．点在的平分线上
C．点在的平分线上D．点是，，平分线的交点
10．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（ ）
A．3B．4C．6D．8
11．如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
12．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
14．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是 ．
15．如图，，则 ．
16．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ．
17．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积为 ．
三、解答题
18．如图，点C、D在∠AOB的平分线上，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN．求证：OA＝OB．
19．【感知】如图①，平分，易知．
【探究】如图②，如果把“”改为“”，那么还成立吗？请说明理由．
20．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：．
21．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由；
(3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长．
22．如图，地块中，边．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；
(2)过点D作，则___________（填“”“”“”）
(3)若地块的面积为，求地块的面积．
23．如图，点D在的边上，且．
(1)作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，，判断直线与直线的位置关系．
24．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且．
(1)求证：是的平分线：
(2)求证：．
《14.3角的平分线》参考答案
1．B
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟记命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义是解决问题的关键．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义判断即可得到答案．
【详解】解：画直线垂直于直线，不是命题；
若，则是真命题；
两直线平行，同旁内角互补，故本小题命题是假命题；
直线，相交于点，不是命题；
等角的余角相等，是真命题；
三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点，是真命题；
则真命题的个数是个，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解．
【详解】解：过点作，分别垂直于，，
∵与的面积之比为，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断．
【详解】解：由题意知平分在上，
A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意；
B、不一定平分，故B不符合题意；
C、不在上，故C不符合题意；
D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意，
故选：A．
4．A
【分析】根据角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）判断嘉嘉的画法是否正确．由，，为公共边，证，得，即平分．进而判断琪琪的画法是否正确．本题主要考查角平分线判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 ）和全等三角形判定（ ）是解题关键．
【详解】解：嘉嘉的画法：
直尺宽度相等，即点到、的距离等于直尺宽度，即点到、距离相等，
∴射线是角平分线，故嘉嘉画法正确 ．
琪琪的画法：
，，
即是平分线，琪琪画法正确 ．
综上，两人都对，
故选： ．
5．B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5，
∴点到的距离为5，
∵点是边上的任意一点，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】根据题意，两人的分析方法一致，故都正确
【详解】解：根据题意，两人的分析方法一致，故都正确
故选C
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴是的平分线，
符合要求的作图是D选项，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可．
【详解】解：，于点，于点，
点在的平分线上，
但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离，
作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案．
【详解】解：过点O作，分别交于点F，G，
∴，
∴点F，O，G三点共线．
∵分别是的平分线，且，
∴，
∴，
∴与两平行线之间的距离是6．
故选：C．
11．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④．
【详解】解：
，
在和中，
，
，
，故正确；
且，
平分，故正确；
∵，
，
又，
，
而，
结论错误；
在和中，
，
，
，
，
，
即，故正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：B．
12．D
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
∴点到的距离与点到的距离相等，
∵C村到公路的距离为，
∴C村到公路的距离是．
故选：D．
13．6
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．
过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．
【详解】解：过作于，
平分，，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
14．7
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：7．
15．/30度
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理．根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
16．32
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
【详解】解：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∵是的中点，
∴．
∵，
∴．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴的周长．
故答案为：32．
17．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．证明见解析
【分析】根据DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN，得出是的角平分线，推出，进而得到，证明，即可得证．
【详解】证明：∵DM⊥AC，DN⊥BC，DM＝DN，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
即：
∵点C、D在∠AOB的平分线上，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴OA＝OB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的判定和性质，证明两个三角形全等是解题的关键．
19．成立．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
感知：由，，得，即可证明，得；
探究：作于点，交的延长线于点，则，由，，得，即可证明，得．
【详解】感知：证明：，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
探究：证明：如图②，作于点，交的延长线于点，则，
平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
20．见解析
【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论．
【详解】证明：如图，延长交于点．
，
．
∵是角平分线，
，
在和中，
，
，
．
又，
．
21．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)3
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可；
（3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
22．(1)图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质作答即可；
（3）根据三角形的面积公式和角平分线的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵是的角平分线，，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作角平分线，平行线的判定．熟练掌握作角平分线，平行线的判定是解题的关键．
（1）以为圆心，适当长为半径画弧交于，然后以为圆心，大于的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求；
（2）由平分可得，由，，可得，则，进而可得．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可；
（2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可．
【详解】（1）过点E作于点H
点E在的平分线上，
，
，
．
又
是的平分线．
（2），
在和中
，
同理可得，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
B
B
C
D
B
C
题号
11
12








答案
B
D