2025-2026学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若关于x的方程=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1B. m=1C. m＞1D. m≠0
3.将抛物线y=（x-3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. y=x2B. y=（x-6）2+4C. y=（x-6）2D. y=x2+4
4.一元二次方程x2+5x-6=0根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能判定
5.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC′为（ ）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
6.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
​
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.在平面直角坐标系中，点（-2，3）关于原点对称的点的坐标是 。
8.一元二次方程x2+6x+4=0配方得 .
9.抛物线y=5（x-3）2+6的顶点坐标是 .
10.某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是______．
11.如图所示，△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若∠BAC=120°，AB′=CB′，则∠C′的度数是 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
12.解一元二次方程：x2-8x-10=0.
四、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD，连接AD，BC.求证：AD=BC.
14.(本小题6分)
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，-3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当1＜x＜4时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围.
15.(本小题7分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）.
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标______，点C1的坐标______；
（2）把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）已知△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标.
16.(本小题7分)
改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m,宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
17.(本小题7分)
​​​​​​​如图，在ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，将ABC绕点B顺时针旋转得到DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．
18.(本小题8分)
投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xOy,篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m,小明进行了两次投篮训练.
第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；
（3）已知此时小明距篮筐中心的水平距离5m,小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由.
19.(本小题8分)
如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
①若AB为⊙O的直径，则∠APB= ______；
②若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数．
20.(本小题10分)
一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为50元，从销售中记录发现，当每件售价为90元时，每天可售出20件.为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利.市场调研认为，若每件降价1元，则每天就可多售出2件.
（1）若活动期间每件秋装的售价为80元，这款秋装每天销售多少件？
（2）要想每天销售这款秋装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
（3）每件降价多少元时，每天销售这款秋装的盈利最多？最多多少元？
21.(本小题10分)
如图①所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE，不需证明.
（1）如图②所示，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③所示，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若，，求线段DE的长.
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l,直线l与x轴交于点D.P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点P是该抛物线的顶点时，求PC的长；
（3）当△PAD的面积是3时，求点P的坐标：
（4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】（2，-3）
8.【答案】（x+3）2=5
9.【答案】（3，6）
10.【答案】100（1+x）2=121
11.【答案】20°
12.【答案】解：x2-8x-10=0，
x2-8x=10，
∴x2-8x+16=26，
∴（x-4）2=26，
∴，
∴x-4=-或x-4=，
∴，．
13.【答案】见解答过程．
14.【答案】y=-x2+4x-3； -3＜y≤1
15.【答案】作图见解析，（3，0），（1，-1）；
作图见解析；
（0，2）．
16.【答案】解：设小路的宽应为x m,
根据题意得：（16-2x）（9-x）=112，
解得：x1=1，x2=16．
∵16＞9，
∴x=16不符合题意，舍去，
∴x=1．
答：小路的宽应为1m.
17.【答案】解：∵在△ABC中，∠C=90°，CB=6，CA=8，
∴AB==10，
由旋转的性质得：BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=10-6=4．
18.【答案】（1）
（2）3.8m （3）小明第一次投篮练习成功，
该抛物线的顶点坐标为（3，3.8），
∴y=a（x-3）2+3.8，
则：2.0=a（0-3）2+3.8，
∴．
∴，
将x=5代入得，，
∴小明第一次投篮练习成功
19.【答案】解：①90°．
②如图：​​​​​​​连接OA，OB，AB，
∵⊙O半径为1，AB=，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧上，则∠APB=∠AOB=45°，
若点P在劣弧上，则∠AP′B=180°-∠APB=135°．
∴∠APB的度数为45°或135°．
20.【答案】（1）40件 （2）20元 （3）每件降价15元时每天销售这款秋装的盈利最多，最多1250元
21.【答案】BD=CE成立，证明见解析

22.【答案】解：（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）；
（2）在y=x2-4x+3中，令x=0得y=3，
∴C（0，3），
点P是该抛物线的顶点时，P的坐标为（2，-1），
∴PC==2，
∴PC的长为2；
（3）由y=（x-2）2-1知抛物线对称轴为直线x=2，
∴D（2，0），
∵A（1，0），
∴AD=2-1=1，
设△PAD的边AD上的高为h,则×1×h=3，
∴h=6，
∵抛物线顶点（2，-1）到AD的距离为1，
∴P只能在x轴上方，
在y=x2-4x+3中，令y=6得6=x2-4x+3，
解得x=2+或x=2-；
∴P（2+，6）或（2-，6）；
（4）由（3）知，抛物线对称轴为直线x=2，
∴P到对称轴直线l的距离为|m-2|，即Q的纵坐标为|m-2|，
①当m＜2时，点P、Q之间的部分的图象最低点为顶点（2，-1），
若P为最高点，则m2-4m+3-（-1）=3，
解得m=2+（舍去）或m=2-；
若Q为最高点，则|m-2|-（-1）=3，即2-m+1=3，
解得m=0（此时Q不是最高点，舍去）；
②当m＞2时，若点P为最高点，点Q为最低点，则（m-2）2-1-（m-2）=3，
解得（舍）或；
若点Q为最高点，点P为最低点，m-2-（m-2）2+1=3，方程无解；
综上所述，m的值为或． 水平距离x/m
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/m
2.0
3.0
3.6
3.8
3.6
…