2025-2026学年吉林省长春103中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年吉林省长春103中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x2+2x-3=0，下列变形正确的是（ ）
A. （x+1）2=-2B. （x+1）2=2C. （x+1）2=-4D. （x+1）2=4
3.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+kx-6=0的一个根，则k的值为（ ）
A. -5B. -7C. 5D. 7
4.下列各组的四条线段是成比例线段的是（ ）
A. a=4，b=6，c=5，d=10B. a=1，b=2，c=3，d=4
C. a=，b=3，c=2，d=D. a=2，b=，c=2，d=
5.如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=50米，∠PCA=44°，则小河宽PA为（ ）米．
A. 50sin44°
B. 50cs44°
C. 50tan44°
D. 50tan46°
7.用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，△ABC与△AEF不一定相似的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E.若CE=3AE=6，则边AD的长是（ ）
A.
B.
C.
D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：-=______．
10.一元二次方程2x2+x-a=0的一根是x=3，则方程的另一根是 .
11.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为______．
12.如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE=2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3cm,AC=5cm,动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为cm/s,点Q的速度为1cm/s,点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是 s.
14.如图，在正方形ABCD中，AB=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，连结EF.给出下面四个结论：
①△BOE≌△COF；
②CF=BE；
③BE2+CE2=OE2；
④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积；
⑤若EF的中点为K，则OK+CK的最小值为2.
上述结论中，所有正确的序号是 .
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）2sin60°-tan45°+4sin30°.
16.(本小题8分)
解方程：
（1）3x2=2x；
（2）x2+6x-1=0.
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+（m-4）x-4m=0.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）当该方程有两个相等的实数根时，直接写出该方程的根.
18.(本小题8分)
随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元.据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加1.6次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
19.(本小题8分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C均在格点上，D是线段AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，画出△ABC的中线AF；
（2）在图②中，在AC上找一点M，连结DM，使；
（3）在图③中，在AC上找一点Q，连结BQ，使.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上的点，连结AD，作∠ADE=∠C，使边DE交AB于点E.
（1）求证：△BDE∽△CAD.
（2）若AB=16，DB=4，CD=9，求BE的长.
21.(本小题8分)
如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C=45°，CD=60m，∠BDE=30°.已知电视塔高AB=150m，求山高BE的值.（参考数据：1.414，1.732，精确到1m）
22.(本小题8分)
“绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题：
（1）甲品牌共享电动车每分钟收费______元．
（2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式．
（3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为6km，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱．
23.(本小题8分)
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是AB的中点，E、F分别是直线BC、AD上一个动点，连结OE、EF、CF，且EF⊥OC，求线段OE+CF的最小值.
【初步探究】如图①，小明同学发现EF、OC的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形，求的值，下面给出了证明过程.
证明：作FH⊥BC于点H，（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤）
∵EF⊥OC，
∴∠OCB+∠FEH=90°，
证明过程缺失.
（2）请你补全证明过程.
【问题解决】求出的值后，将OE沿EF的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题.如图②，过点O作OG∥EF，且OG=EF.在【问题呈现】的条件下，线段OE+CF的最小值为______.
24.(本小题8分)
在矩形ABCD中，，AD=3，点P在折线AD-DC上，以AP为边向下作等边三角形APM，射线PM交线段BC于点Q，连结AQ.
（1）当点Q与点B重合时，线段PQ的长为______；
（2）当点M落在边BC上时，求等边三角形APM的面积；
（3）当P在边CD上，△APQ是直角三角形时，求AQ的长；
（4）当点Q将线段PM分成两部分线段长度比为1：3时，直接写出tan∠PAQ.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】-
10.【答案】
11.【答案】（35-2x）（20-x）=600（或2x2-75x+100=0）
12.【答案】9
13.【答案】3
14.【答案】①②④
15.【答案】（1）0 （2）
16.【答案】（1） （2），
17.【答案】（1）证明：x2+（m-4）x-4m=0，
∵a=1，b=m-4，c=-4m，
∴Δ=（m-4）2-4×1×（-4m）
=（m-4）2+16m
=m2-8m+16+16m
=m2+8m+16
=（m+4）2≥0，
∴方程总有两个实数根 （2）x1=x2=4
18.【答案】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x,
根据题意可得：25（1+x）2=64，
解得：x1=0.6=60%，x2=-2.6（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）设租金降价a元，则（120-a）（64+1.6a）=8800，
化简得：a2-80a+700=0，
解得：a1=10，a2=70．
为了尽可能让利顾客，a2=70．
答：当租金降价70元时，公司将获利8800元．
19.【答案】（1）AF即为所求 （2）点M即为所求 （3）点Q即为所求
20.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，
∴∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）∵△BDE∽△CAD，
∵=，
∵AC=AB=16，DB=4，CD=9，
∴=，
∴BE=．
21.【答案】解：设BE=x米，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2x，
∴DE===x（米），
在Rt△ACE中，∠C=45°，
∴∠A=45°，
∴∠A=∠C，
∴AE=CE，
∴AB+BE=CD+DE，
即150+x=60+x，
解得：x=45（+1）≈123（米），
即山高BE的值约为123米．
22.【答案】（1）0.2；
（2）当x≥10时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
将（10，3），（20，4）代入得：
，
解得，
∴y=0.1x+2（x≥10）；
（3）小明需要骑行的时间是×60=18（分），
从图象可知，当x＜20时，y甲＜y乙，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱，
答：小明选择甲品牌的共享电动车更省钱．
23.【答案】作FH⊥BC于点H，如图①即为所求；

作FH⊥BC于点H，如图①，
∵EF⊥OC，
∴∠OCB+∠FEH=90°，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是AB中点，
∴∠ABC=90°，OB=3；
∵FH⊥BC，
∴∠FHE=90°=∠ABC；
∵∠FEH+∠EFH=90°，
∴∠OCB=∠EFH，
∴△OCB∽△EFH，
∴，
∵FH=AB=6，
∴；
【问题解决】
24.【答案】2；
；
；
．