安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡统一交回，08B， 已知函数，则不等式的解集为， 下列求导正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题单位：池州三中
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
5.考试结束后，将答题卡统一交回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数的导函数为，且（ ）
A. 1B. 3C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】据在某点处的导数的定义，可求得答案.
【详解】.
故选：C.
2. 如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（ ）种不同的着色方法.
A. 180B. 120C. 60D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理可求解.
【详解】给青阳着色有5种不同的方法，给贵池着色有4种不同的方法，给石台着色有3种不同的方法，因为青阳与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法，
故由分步乘法计数原理有.
故选：B.
3. 已知函数的图象在点P处的切线方程为，若点P的横坐标是2，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意求出点P的纵坐标，从而可求得，再根据导数的几何意义求出，然后可求出的值.
【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程为，点P的横坐标是2，
所以点P的纵坐标为，所以，
因为点P处的切线方程为，所以，
所以.
故选：D
4. 在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（ ）
A. 8B. 7或8C. 8或9D. 7，8或9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分类讨论二项式系数最大得出项数.
【详解】若展开式中只有第五项的二项式系数最大可知；
当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意；
当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意；
故选：D.
5. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A. 0.08B. 0.09C. 0.1D. 0.15
【答案】B
【解析】
【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解.
【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，
，，
由全概率公式得
故选：B
6. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，据此求解即可.
【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，
求导得，令，解得或（舍去），
当时，，即，
由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为.
故选：C.
7. 2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 50B. 60C. 68D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】根据①号服务点分配的人数讨论即可.
【详解】当①号服务点只有甲时，将剩下四个人分成两组，按人数可分为{1,3}，{2,2}两种情况，
总的分组种类有种；再将两组人分配到②和③号服务点，有种方法，
故总共有种方法；
当①号服务点有两个同学时，共有种方法；
当①号服务点有三个同学时，共有种方法.
故总共有种方法.
故选：A.
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性即可解不等式.
【详解】的定义域为R且，故为偶函数，
则不等式可化为，
.
设，则，
则在上单调递增，则，
所以当时，恒成立，在上单调递增，
又因为其为偶函数，则其在上单调递减，
∴等价于，两边同时平方解得.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解.
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，下列正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用赋值法令，可求；对于B，绝对值系数和等价于展开式的所有系数和即得；对于C，对原式两边求导后令即可求解；对于D，令即可求解.
【详解】选项A：令，得；令，得，所以，故A正确；
选项B：绝对值系数和等价于展开式的所有系数和，令，得，所以，故B正确.
选项C：对原式两边求导得：.
令，得，故C错误.
选项D：令，得左边，
右边为
故，故D正确.
故选：ABD.
11. 下列正确的有（ ）
A. 把6个相同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法
B. 把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法
C. 把6个不同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有1560种方法
D. 把6个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，共有2160种方法
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据条件每个盒子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案；
对于B，将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；
对于C，把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可；
对于D，把6个不同的小球按2，2，2和3，2，1和4，1，1三种方案分成3组，再将每一种分法放入3个不同盒子即可得解.
【详解】对于A，把6个相同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，每个盒子先放入1个小球，还剩下2个小球，则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个盒子中，所以共有2种放法，故A错误；
对于B，6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为，故B正确；
对于C，6个不同的小球放入4个相同的盒子，每个盒子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球分别放入4个盒子满足要求，一种分组方法即为一种放法，所以不同的放法种数为，故C错误；
对于D，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，恰有一个空盒，先把6个不同的小球按2，2，2和3，2，1和4，1，1三种种方案分成3组，每一种分法的3组小球全排列，得到的每一个排列的3组小球分别放入3个盒子满足要求，
所以不同的放法种数为，故D正确．
故选：BD.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 贵池区某高中高二（3）班周二的课表要排语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育共7节课，如果语文需要安排在数学前，数学需要安排在体育前（均可以不相邻），有______种不同的排法.
【答案】840
【解析】
【分析】先求全排列，因为语文，数学，体育只有1种顺序，可求总的方法数.
【详解】先对7个学科全排列有种，又因为语文需要安排在数学前，数学需要安排在体育前，
则这3个学科只有1种顺序，
所以共有.
故答案为：.
13. 在的展开式中，常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.
【详解】由题得的通项为，
令得的常数项为,
令，得的的系数为.
所以的常数项为.
故答案为: .
14. 已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______.
【答案】##
【解析】
【分析】将不等式变形为，构造函数，判断其单调性即可解不等式.
【详解】不等式变形为，
设函数，
则，
因为，所以在上恒成立，则在上单调递增，
又，则，
所以不等式即为，
由在上单调递增，可得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在的展开式中.
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求系数最大的项.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解；
（2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案.
【小问1详解】
由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大，
又展开式通项为，
所以
【小问2详解】
设第项系数最大，则，
所以，解得，
故系数最大的项是第3项和第4项，
.
16. 甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，均值为，方差为
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件用乘法来求概率即可；
（2）先求随机变量分布列，再根据公式求期望和方差即可.
【小问1详解】
记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥，
记事件B表示甲获胜，则
【小问2详解】
的所有可能的取值为1，2，3，
则
所以的分布列为：
所以的均值为：
所以的方差为：
17. 贵池某中学在2025年距离高考倒计时100天当天，为高三学生举办高考百日誓师大会，用以激励正在备考的高三学生.学校共准备了四首励志歌曲和三个发言（一个教师代表发言，一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言）.根据不同的要求，求本次活动的安排方法.
（1）往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？
（2）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？
（3）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？（结果用数字作答）
【答案】（1）1440种
（2）1440种 （3）3720种
【解析】
【分析】（1）利用捆绑可求解；
（2）利用插空法可求解；
（3）利用间接法可求解.
【小问1详解】
根据题意，分两步分析
①先将往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言捆绑，有种情况
②捆绑后，与其他5个节目全排列，有种情况
共有的方法数：种
【小问2详解】
分两步进行分析：
①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有5个空位，
②在5个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况，
则三个发言不能相邻的排法有种；
【小问3详解】
如果没有条件限制，方法数为：种情况，
励志歌曲甲排在第一个，方法数有：种情况，
励志歌曲乙排在最后一个，方法数有：种情况，
励志歌曲甲排在第一个且乙排在最后一个，方法数有：种情况，
共有：种.
18. 已知.
（1）当时，求函数的极值；
（2），若存在3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，进而求出单调区间，根据极值的概念求解即可；
（2）易知有一个零点为，进而转化为方程有2个实根，参变分离，令，则函数与图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图象，数形结合求解即可.
【小问1详解】
当时，，
由得得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值为，无极大值.
【小问2详解】
由函数，
可得有一个零点为，要使得存在3个零点，
则需方程有2个实根，
而方程可化为，
令，则函数与的图象有两个交点.
，令得，
当变化时，、的变化情况列表如下：
所以函数在处取得极小值为2e.
当时，又，所以的大致图象如图：
由函数与的图象有两个交点，根据图象可得.
所以要使得存在3个零点，则实数的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求证：
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用特值确定，再借助不等式的性质放缩，利用导数推理得证.
（3）借助（2）的信息，得，令，可得，累加即可得证.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
不等式，
令，依题意，对任意成立，
而，则恒成立，即，
当时，对任意，，于是，
令，求导得，函数在上单调递增，
又，；，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此成立，即恒成立，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知，当时，不等式恒成立，
令，得，
因此，
即，
X
1
2
3
p
1
-
-
0
+
+
单调递减
单调递减
极小值
单调递增
单调递增