安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

这是一份安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在正项等比数列{an}中，a3+a5＝5，a5+a7＝20，则{an}的公比等于（ ）
A．B．2C．4D．±2
2．（5分）设，则f'（4）＝（ ）
A．﹣5B．﹣20C．5D．20
3．（5分）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6+a7＜0，a5+a9＞0，则当Sn取得最小值时，n＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120B．26C．340D．420
6．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．f（x）有极大值f（﹣2）B．f（x）有极小值f（﹣2）
C．f（x）有极大值f（1）D．f（x）有极小值f（1）
7．（5分）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．90种C．150种D．240种
8．（5分）已知函数f（x）＝x（m﹣e﹣2x），曲线y＝f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y＝x平行，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1﹣e﹣2，1）B．（﹣1﹣e﹣2，﹣1）
C．（﹣e﹣2，0）D．（1，1+e﹣2）
二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列求导数运算正确的有（ ）
A．（sinx）′＝csxB．（）′＝
C．（lg3x）′＝D．（lnx）′＝
（多选）10．（5分）已知数列{an}，下列结论正确的有（ ）
A．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则a20＝211
B．若a1＝1，an+1＝2an+1，则
C．若，则数列{an}是等比数列
D．若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列为等差数列
（多选）11．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
（多选）12．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣1恰有3个零点，则实数m的值可以为（ ）
A．5B．6C．7D．8
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）
13．（5分）现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，甲、乙两类均被选到的方法共有 种．（用数字填写答案）
14．（5分）若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为 ．
15．（5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a3+a7＝3，a2•a8＝2，则＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17．（10分）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
18．（12分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒．
19．（12分）在数列{an}中，a1＝，an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足不等式a1a2+a2a3+…+akak+1＜成立的k的最大值．
20．（12分）在等差数列{an}中，a1＝1且a1，a2，a5构成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足，n∈N+，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且w（1）＝57，w（10）＝120．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入G（x）（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润F（x）（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7≈1.95）
22．（12分）已知f（x）＝ex﹣1﹣ax+1（x∈R）．
（1）若f（x）存在最小值，求此时a的取值范围，并求出f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，f（x）+lnx≥0恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（5分）在正项等比数列{an}中，a3+a5＝5，a5+a7＝20，则{an}的公比等于（ ）
A．B．2C．4D．±2
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
【解答】解：正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），
则，解得q＝2（负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
2．（5分）设，则f'（4）＝（ ）
A．﹣5B．﹣20C．5D．20
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
则2f'（4）＝﹣10，解得f'（4）＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设点P的横坐标为x0，
因为，
所以，
该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，
则切线的斜率为tan150°＝，即＝，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能，属于中档题．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6+a7＜0，a5+a9＞0，则当Sn取得最小值时，n＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由等差数列通项公式得a5+a6+a7＝3a6＜0，a5+a9＝2a7＞0，由此能求出当Sn取得最小值时n的值．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，
∵a5+a6+a7＝3a6＜0，a5+a9＝2a7＞0，
∴a6＜0，a7＞0，
∴当n＝6时，Sn取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120B．26C．340D．420
【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【解答】解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，
分4步进行分析：
①，对于区域A，有5种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，
则区域D、E有3+2×2＝7种选择，
则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种；
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．f（x）有极大值f（﹣2）B．f（x）有极小值f（﹣2）
C．f（x）有极大值f（1）D．f（x）有极小值f（1）
【分析】由函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象，可得x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．由此可得函数f（x）的单调性，则答案可求．
【解答】解：函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，
∴x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）有极大值f（﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值、考查数形结合思想方法，考查了分类讨论方法，是中档题．
7．（5分）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．90种C．150种D．240种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，②将分好的三组安排到3个小区，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，
则有10+15＝25种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的安排方法，
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意正确的分组，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝x（m﹣e﹣2x），曲线y＝f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y＝x平行，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1﹣e﹣2，1）B．（﹣1﹣e﹣2，﹣1）
C．（﹣e﹣2，0）D．（1，1+e﹣2）
【分析】求导f′（x）＝m﹣（1﹣2x）e﹣2x，问题转化为m﹣1＝（1﹣2x）e﹣2x有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果．
【解答】解：∵f（x）＝x（m﹣e﹣2x），∴f′（x）＝m﹣（1﹣2x）e﹣2x，
令m﹣（1﹣2x）e﹣2x＝1，得m﹣1＝（1﹣2x）e﹣2x，
设g（x）＝（1﹣2x）e﹣2x，则g（x）＝4（x﹣1）e﹣2x，
x＞1时，g′（x）＞0；x＜1时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝﹣e﹣2，当x→+∞，g（x）→0，
由题意，m﹣1＝（1﹣2x）e﹣2x有两个不同的解，
即y＝m﹣1与y＝（1﹣2x）e﹣2x的图像有两个不同的交点，
∴﹣e﹣2＜m﹣1＜0，解得1﹣e﹣2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是（1﹣e﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列求导数运算正确的有（ ）
A．（sinx）′＝csxB．（）′＝
C．（lg3x）′＝D．（lnx）′＝
【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（sinx）′＝csx，A正确，
对于B，（）′＝﹣，B错误，
对于C，（lg3x）′＝，C错误，
对于D，（lnx）′＝，D正确，
故选：AD．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知数列{an}，下列结论正确的有（ ）
A．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则a20＝211
B．若a1＝1，an+1＝2an+1，则
C．若，则数列{an}是等比数列
D．若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列为等差数列
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造{an+1}为等比数列可判断B项；利用Sn与an的关系可求得{an}通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项．
【解答】解：对于选项A，由an+1＝an+n+1，得an+1﹣an＝n+1，
则a20＝（a20﹣a19）+（a19﹣a18）+（a18﹣a17）+⋯⋯+（a2﹣a1）+a1
＝，故A项正确；
对于选项B，由an+1＝2an+1，得（an+1+1）＝2（an+1），
所以{an+1}为等比数列，首项为a1+1＝2，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当n＝1时，，
当n≥2时，，
将n＝1代入，得，
所以，所以数列{an}不是等比数列，故C项错误．
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前n项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查数列递推式，等差数列与等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有＝48种不同的排法，A错误；
对于B，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有4×＝24种排法，
若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有3×3×＝54种排法，
则有24+54＝78种不同的站法，B正确；
对于C，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有＝72种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有×72＝36种不同的排法，C正确；
对于D，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有6×7＝42种不同的安排方法，D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣1恰有3个零点，则实数m的值可以为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据函数与方程的关系，将函数零点问题转化为两个函数图象交点个数问题，利用参数分离法和数形结合进行求解即可．
【解答】解：当x＞0时，由g（x）＝0得f（x）＝1，此时＝1，得ex＝2，得x＝ln2，满足条件，即当x＞0时，g（x）只有一个零点，
若函数g（x）＝f（x）﹣1恰有3个零点，
等价为当x≤0时，g（x）＝f（x）﹣1恰有2个零点，
即2x3﹣mx﹣3﹣1＝0，即2x3﹣mx﹣4＝0
得mx＝2x3﹣4，
当x＝0时，方程mx＝2x3﹣4不成立，即x＝0不是方程的根，
则当x＜0时，m＝，
设h（x）＝，
h′（x）＝＝＝，
当h′（x）＞0得x3+1＞0，即x3＞﹣1，则﹣1＜x＜0，此时函数为增函数，
由h′（x）＜0得x3+1＜0，即x3＜﹣1，则x＜﹣1，此时函数为减函数，
即当x＝﹣1时，h（x）取得极小值，h（﹣1）＝6，
当x→﹣∞，f（x）→+∞，当x＜0且x→0，f（x）→+∞，
作出函数h（x）的图象如图：
要使m＝h（x）有两个交点，则m＞6即可，
则m＝7，m＝8满足条件．
故选：CD．
【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）
13．（5分）现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，甲、乙两类均被选到的方法共有 36 种．（用数字填写答案）
【分析】甲、乙两类均被选到分两种情况：甲类2件，乙类1件；甲类1件，乙类2件，再结合组合数进行运算，得解．
【解答】解：甲、乙两类均被选到分两种情况：
①甲类2件，乙类1件，有＝30种选法；
②甲类1件，乙类2件，有＝6种选法，
所以共有30+6＝36种选法．
故答案为：36．
【点评】本题考查组合数与计数原理的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．（5分）若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为 ．
【分析】设x﹣y+m＝0与函数f（x）＝x2﹣lnx的图象相切于点P（x0，y0）．f′（x）＝2x﹣，则＝1，x0＞0，解得x0．再利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：设x﹣y+m＝0与函数f（x）＝x2﹣lnx的图象相切于点P（x0，y0）．
f′（x）＝2x﹣，则＝1，x0＞0，解得x0＝1．
∴y0＝1，
∴点P（1，1）到直线x﹣y﹣2＝0的距离为最小距离d＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究切线的斜率、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a3+a7＝3，a2•a8＝2，则＝ 2 ．
【分析】根据题设条件结合等比数列通项公式，先求出a3和a7，由此再求出得到q的值，从而得到的值．
【解答】解：∵等比数列{an}为递增数列，a3+a7＝3，a2•a8＝2，
∴，解得a3＝1，a7＝2，
∴＝，∴q4＝2．
∴＝．
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2+e2] ．
【分析】原不等式等价于，构造h（x）＝，由函数单调性的定义可知，h（x）在[2，+∞）上单调递增，即有h'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，亦即a﹣2≤xe x ﹣e x 在[2，+∞）上恒成立，构造g（x）＝xe x ﹣e x ，由导数求解函数g（x）的最小值，即可得到a的取值范围．
【解答】解：原不等式等价于，令h（x）＝，
则不等式等价于h（x 1 ）＜h（x 2 ）对于任意的x 1 ，x 2 ∈[2，+∞）且x 1 ＜x 2 都成立，
故函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，又函数f（x）＝ex+ax﹣2，则h（x）＝，
所以h'（x）＝在[2，+∞）上恒成立，
即xex﹣ex+2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a﹣2≤xex﹣ex在[2，+∞）上恒成立，
令g（x）＝xex﹣ex，因为g'（x）＝xex＞0在[2，+∞）上恒成立，
所以g（x）在[2，+∞）上单调递增，则g（x）≥g（2）＝e2，
所以a﹣2≤e2，解得a≤2+e2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，2+e2]．
故答案为：（﹣∞，2+e2]．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17．（10分）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得f′（e）＝2，又f（e）＝e，再由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝lnx+1，由f′（x）＞0，求解函数的增区间，由f′（x）＜0，求解函数的减区间．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，
∴f′（e）＝2，又f（e）＝e，
∴曲线y＝f（x）在点（e，f（e））的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），
即y＝2x﹣e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝lnx+1，
由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
18．（12分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒．
【分析】（1）先排甲、乙两人，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，分步乘法计数原理，即得解；
（2）从甲、乙2人中选出1人，排在第一棒或第四棒，再从另外6人中选3人排在剩余的三个位置，根据分步乘法计数原理，即得解．
【解答】解：（1）甲、乙2人必须跑中间两棒，则有种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为＝60．
（2）甲乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有种排法．
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为＝480．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
19．（12分）在数列{an}中，a1＝，an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足不等式a1a2+a2a3+…+akak+1＜成立的k的最大值．
【分析】（1）对数列的递推式两边同除以an+1an，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得anan+1＝（﹣），运用数列的裂项相消求和和不等式的解法，可得所求最大值．
【解答】解：（1）由an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*），可得﹣＝2，
可得{}是首项为3，公差为2的等差数列，则＝3+2（n﹣1）＝2n+1，
即有an＝；
（2）anan+1＝＝（﹣），
所以a1a2+a2a3+…+akak+1＝（﹣+﹣+...+﹣）
＝（﹣）＜，
可得＞，即2k+3＜21，即有k＜9，
则整数k的最大值为8．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）在等差数列{an}中，a1＝1且a1，a2，a5构成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足，n∈N+，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式及等比数列的性质可得关于公差d的方程，求出d，即可得出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由n＝1，求出b1，当n≥2时，，根据作差法可得bn，验证n＝1即可得到数列{bn}的通项，由错位相加求和法即可求解数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝1且a1，a2，a5构成公比不为1的等比数列，
∴，即（1十d）2＝1×（1+4d），解得d＝2或d＝0 （舍）．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（Ⅱ）因为，
当n＝1时，，即b1＝1，
当n≥2时，，
所以，即，
当n＝1时，也成立，所以，（8分）
所以，
，
两式相减可得，
，
所以（12分）
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且w（1）＝57，w（10）＝120．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入G（x）（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润F（x）（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7≈1.95）
【分析】（1）由题意设W（x）＝ax+b，然后根据已知建立方程组求出a，b的值，再由F（x）＝x•G（x）﹣W（x），由此即可求解；（2）求出函数F（x）的导数，利用导数求出函数的单调性，进而求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意设W（x）＝ax+b，则，解得a＝7，b＝50，
所以W（x）＝7x+50，
则利润F（x）＝x•G（x）﹣W（x）＝﹣﹣7x﹣50＝20lnx﹣﹣3x+34，
即F（x）（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式为F（x）＝20lnx﹣﹣3x+34（x＞0）；
（2）F′（x）＝＝﹣，
令F′（x）＞0，解得0＜x＜7，令F′（x）＜0，解得x＞7，
所以函数F（x）在（0，7）上单调递增，在（7，+∞）上单调递减，
所以当x＝7时，F（x）max＝F（7）＝20ln7﹣1﹣21+34＝20×1.95+12＝51，
所以当今年产量为7百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大，最大利润是51万元．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的求解转化能力，涉及到导数的应用，属于中档题．
22．（12分）已知f（x）＝ex﹣1﹣ax+1（x∈R）．
（1）若f（x）存在最小值，求此时a的取值范围，并求出f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，f（x）+lnx≥0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出导函数，讨论当a≤0时，当a＞0时，分别判断f（x）是否存在最小值，再利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值即可；
（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对x≥1恒成立,构造函数g(x)＝，利用导数研究函数的单调性，求出g（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）f（x）＝ex﹣1﹣ax+1（x∈R），则f'(x)＝ex﹣1﹣a，
①当a≤0时，f'(x)＞0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，故不存在最小值，不符合题意‘
②当a＞0时，令f'(x)＝0，解得x＝1+lna，
当x＜1+lna时，f'(x)＜0，故f（x）单调递减，当x＞1+lna时，f'(x)＞0，故f（x）单调递增，
所以当x＝1+lna时，f（x）取得最小值为f（1+lna）＝1﹣alna．
综上所述，a的取值范围为a＞0，f（x）的最小值为1﹣alna；
（2）当x≥1时，f（x）+lnx≥0恒成立，即ex﹣1﹣ax+1+lnx≥0对x≥1恒成立，
等价于对x≥1恒成立,
令g(x)＝,则，
令h(x)＝(x﹣1)ex﹣1﹣lnx，则，则对x≥1恒成立，
所以h′(x)在[1,+∞)上单调递增，所以h'(x)≥h'(1)＝0，
则h（x）在[1,+∞)上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝0，
故g（x）在[1,+∞)上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝1，即g（x）的最小值为2，
所以a≤2．
【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于较难题．