（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义05 三角形中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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题型一：周长问题
题型二：面积问题
题型三：长度问题
题型四：转化为角范围问题
题型五： 倍角问题
题型六：与正切有关的最值问题
题型七：最大角问题
题型八：三角形中的平方问题
题型九：等面积法、张角定理
【方法技巧与总结】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
【典例例题】
题型一：周长问题
例1．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
【解析】(1)依题意，，
由得，，所以在上的值域为.
(2)由得，，，则有，解得，
在中，由余弦定理得，，
当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，
因此，所以的周长的取值范围为．
题型二：面积问题
例2．在中，角的对边分别为．
(1)求角；
(2)若点满足，且，求面积的取值范围．
【解析】(1)因为，所以，且．
(2)，
．
，．．
因为点满足，所以,．
【变式1】在中，D的边的中点，．
(1)求角C；
(2)求面积的取值范围．
【解析】(1)因为，所以
所以，故，又；所以.
(2)在中，由余弦定理可得
因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以面积．
题型三：长度问题
例3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，当且仅当时取等号，又，因此b＋c的取值范围是.故选：B
【变式2】在中,内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点为的中点，求的最大值.
【解析】（1）根据正弦定理可得，
因为，，所以，解得，所以.
（2）设，，则，
在中由余弦定理得①，
在中由余弦定理得②，由①+②可得，
在中由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.
题型四：转化为角范围问题
例4．已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理及，得，根据余弦定理，
得，令，所以，
因此，即，由题意可知A是锐角，所以，
因此，所以．故选:A.
【变式3】在中，若，，则C的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以为锐角，由正弦定理可得：，又，所，因此，因为为锐角，所以.故选：A.
题型五： 倍角问题
例5．的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】根据题意得，，故，在中，由正弦定理，
得，因，所以，故，
所以的取值范围为，故答案为：.
【变式4】已知是锐角三角形，若，则的取值范围是_____.
【答案】（）
【解析】解：，由正弦定理可得：，
当为最大角时，，，当为最大角时，，，
，可得：，故，故答案为：．
题型六：与正切有关的最值问题
例6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范围．
【解析】(1)因为，所以,
因为，，
因为.
(2)由正弦定理，
，因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是.
【变式5】锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，
所以，得，又，
所以，所以.又，
所以，所以.又，且，故，
所以.
又，所以，得，所以，故选：C.
题型七：三角形中的平方问题
例7．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．若的平分线与交于点，则
A． B． C． D．3
【解答】解：因为，
所以，因为，所以，因为，，
所以，由正弦定理，可得，解得，
因为的平分线与交于点，所以，即，
所以由，可得，
在中，由余弦定理可得．
故选：．
【变式6】已知的三边分别为，，，若满足，则面积的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由三角形面积公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
当时，取得最大值，的最大值为．故选：．
题型八：等面积法
例8．给定平面上四点，，，，满足，，，，则面积的最大值为 ．
【解答】解：，，，，，
，设到的距离为，则由等面积可得，
，面积的最大值为．故答案为：．
【变式7】在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．7
【解答】解：由题意得，即，得，
得，当且仅当，即时，取等号，
故选：．
课后巩固练习
一、单选题
1．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
所以，整理得：，因为，所以，
由正弦定理得：，因为，
所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，
所以，即，由，解得：，因为，
所以，解得：，故选：A
2．在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，， ，
即，
即，解得，又因为，
所以，即，，，故选：D
3．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为锐角三角形，故 ,故 进而由正弦定理可得故选：A
4．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,所以，
所以，，，，
所以的取值范围是，故选：A
5．不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为,所以,所以又因为为最大边且三角形是不等边三角形,所以,所以,即得所以故答案为: .
6．已知△ABC的三边长互不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝1，acsA＝bcsB，则a+b的取值范围是 _____.
【答案】
【解析】依题意，则为锐角，，由正弦定理得，由于，所以或，所以（舍去）或，，所以，，
且，,所以的取值范围是.
故答案为：
7．在中，若，则的最大值是____．
【答案】
【解析】结合正弦定理得，即，
所以，因为，所以，则的最大值是．故答案为：
8．若的内角，，满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】已知，由正弦定理可知，
则，因为，即，
所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，
此时，所以.故答案为：.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．
【答案】
【解析】由正弦定理及，得，
∵，∴,∵，∴．由余弦定理，
∴，即 ，当且仅当 时取等号，
∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为．
故答案为：．
10．如图，线段把边长为的等边分成面积相等的两部分，在上，在上，则线段长度的最小值为______.
【答案】
【解析】设，由题意知，即
所以，即；
由余弦定理，即，解得.
则线段长度的最小值为.故答案为：.
11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角B的大小．
(2)若，求周长的取值范围．
【解析】（1）由于（2a﹣c）csB＝bcsC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）csB＝sinBcsC，
即2sinAcsB＝sinCcsB+sinBcsC，即2sinAcsB＝sin（B+C），可得：2sinAcsB＝sinA，
因为sinA≠0，所以，因为，所以．
（2）因为，，由正弦定理可得，
于是，＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，且，所以，，
所以，可得：，所以△ABC周长的取值范围为：．
12．已知的内角的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若，求b+c的取值范围．
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，，即，
，．
（2）由（1）得：，且，所以：，，
由于：，所以，即，
所以：，又，则：，
故的取值范围为．
三角形中的范围与最值问题 随堂检测
1．在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由及余弦定理得：，即.故选：D
2．在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，所以，由于,故选：A
3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，由，得，所以.故选：C.
4．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由得，由得，
故，股癣：A
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由及正弦定理，可得．由，可得．
又，∴．又，解得，则，
∴B为钝角，C为锐角．∴，．
故，∴．故选: A.
6．在中，已知，则角的大小为__________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，即，
又因为，所以，所以，所以.故答案为：.
7．在中，，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
由余弦定理.故答案为：.
8．在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.
【答案】2
【解析】由题意得，，，即，即，因为，所以，故，故.故答案为：2
9．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，所以；
（2），
所以，所以，
所以，即，
由为三角形内角得，面积．
10．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解析】（1），，．
，化为：，，
，，，，．
（2）由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．，
，
当且仅当时取等号．的最小值为．