（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义03 平面向量的数量积+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
【例题1-1】已知在方向上的投影为，则的值为
A．3 B． C．2 D．
【例题1-2】在中，为边上上的中点，，．
（1）___________．
（2）为内一点，最小值为___________
【变式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【变式1-2】在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5 B．2 C． D．
角度2：平面向量数量积的几何意义
【例题2-1】已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例题2-2】如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
【变式2-1】如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．
【变式2-2】在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：求数量积
【例题3-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．4 C．3 D．1
【例题3-2】在边长为2的正三角形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，，其中．满足，则（ ）
A． B． C．9 D．22
角度2：向量模运算
【例题4-1】已知向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．12 B．16 C． D．4
【例题4-2】已知向量，满足，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知向量，若与方向相反，则=（ ）
A．54 B．8 C． D．
【变式4-2】设平面向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.
角度3：向量的夹角
【例题5-1】已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例题5-2】已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
【变式5-3】已知向量满足，则与的夹角为___________.
角度4：两向量成锐角（钝角）求参数
【例题6-1】已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（ ）
A． B． C． D．
【例题6-2】已知，且向量与不共线.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【变式6-1】已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.
【变式6-2】设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
角度5：已知模求数量积
【例题7-1】已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【例题7-2】若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
【变式7-1】空间向量，，若，，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【变式7-2】已知向量，满足，，则，则______．
角度6：已知模求参数
【例题8-1】已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例题8-2】已知单位向量，，与的夹角为.
(1)求证；
(2)若，，且，求的值.
【变式8-1】已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量；
(2)已知，求k的取值范围.
高频考点三：向量的垂直关系
【例题9-1】已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题9-2】已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，且，求实数的值．
【变式9-1】已知向量，，若，则______．
【变式9-2】已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
高频考点四：向量的投影（投影向量）
【例题10-1】已知，，且，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【例题10-2】已知向量，则在方向上的数量投影为___________
【变式10-1】若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.
平面向量的数量积 随堂检测
1．已知向量，，，且，则实数为（ ）
A．-4 B．-3 C．4 D．3
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若向量与向量的夹角为，，，则（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
4．已知，，，向量在方向上的投影是（ ）
A．12 B．4 C．－8 D．2
5．已知向量，满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）．
A．22 B．24 C．20 D．18
8．已知向量与的夹角为，，若，则____________．
9．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
10.如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD=2DB，设，.
(1)若，，且与的夹角为，求；
(2)若向量与+k共线，求实数k的值.
11．已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)若，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．