（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义04 正弦定理和余弦定理+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；；
2.2余弦定理的推论
；；
3、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
【例题1-1】在中，，则的解的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个
【例题1-2】在中，，若解三角形时有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-2】（多选）在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
角度2：利用正弦定理解三角形
【例题2-1】在中，角的对边分别为，已知 则（ ）
A．45°或135° B．135° C．45° D．60°或120°
【例题2-2】（多选）在中，已知，，的外接圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2-2】在中，角的对边分别为，且，，则 _________.
角度3：利用余弦定理解三角形
【例题3-1】已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，
求角．
【例题3-2】在中，内角的对边分别为，已知为锐角，且.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，点为的中点，且，求边的长.
【变式3-1】在中，角所对的边分别为，已知，则角___________.
【变式3-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则C＝______
角度4：正余弦定理综合应用
【例题4-1】已知锐角中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【例题4-2】中，，，，为边上一点，且，则的面积等于________.
【变式4-1】在△ABC中，若，，△ABC的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，，，则______．
高频考点二：判断三角形的形状
【例题5-1】已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
【例题5-2】若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-1】在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
【例题6-1】已知在非 中，，，且，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【例题6-2】在中，已知的平分线，则的面积为_____________.
【变式6-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则该三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
【变式6-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
角度2：三角形面积的最值（范围）
【例题7-1】在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________
【例题7-2】已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求面积的取值范围．
【变式7-1】在锐角中，角所对的边分别为，它的面积等于且，则的面积的取值范围是_________.
高频考点四：三角形周长（边）相关问题
角度1：求三角形周长（边长）
【例题8-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，的面积为，求边长的值.
【变式8-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
角度2：三角形周长（边长）的最值
【例题9-1】若的内角，，的对边分别为，，，满足.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式9-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
第05讲 正弦定理和余弦定理 随堂检测
1．在中，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
5．在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．
8．在中，是角所对的边，且满足
(1)求角的大小；
(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．