（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义02 平面向量基本定理及坐标表示+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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题型一：平面向量基本定理的理解
题型二：用基底表示向量
题型三：平面向量的坐标表示
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
题型六：向量共线的判定
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
题型八：定比分点坐标公式及应用
题型九：数量积的坐标运算
题型十：平面向量的模
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
题型十二：平面向量数量积的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则，即，或．
知识点诠释：
若，则不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
题型一：平面向量基本定理的理解
【例题1-1】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底．
故选：D.
【方法技巧与总结】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
【变式1-1】若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；
故选：C
【变式1-2】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；故选：C.
题型二：用基底表示向量
【例题2-1】如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
【方法技巧与总结】
平面向量基本定理的作用以及注意点
（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
（2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量．
【变式2-1】如图，中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，，，，三点共线，，即.故选：B.
【变式2-2】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【解析】（1）因，所以，
又因为的中点，所以，
所以，又，所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，所以，
又因，，三点共线，所以，即.
题型三：平面向量的坐标表示
【例题3-1】如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设平面直角坐标系为O，由题得，.
则.故选：C
【方法技巧与总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
【变式3-1】已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,故选:D.
【变式3-2】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，，因，
从而有，解得，所以P点的坐标为.故选：A
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
【例题4-1】（1）已知向量，，，求；
（2）化简：．
【解析】（1），，，
,,,,,,；
（2）．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
【变式4-1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，，，
设向量，则，所以.
故选：A
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
【例题5-1】已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
【解析】(1)，，，
．
(2)因为，所以，
所以，解得．即、.
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【变式5-1】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设.
(1)求；
(2)求满足的实数m，n的值．
【解析】(1)因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以==(5，－5)，==(－6，－3)，==(1，8)．
=3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)=(6，－42)．
(2)因为=(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得
题型六：向量共线的判定
【例题6-1】下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于B中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于C中，由，，可得，所以两向量共线；
对于D中，由，，可得，所以两向量不共线.故选：C.
【方法技巧与总结】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
【变式6-1】已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
【答案】A
【解析】由题设，，显然，A正确，对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于.故选：A
【变式6-2】如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
【解析】（1）∵，，∴，
；
（2）证明：∵，∴与平行，
又∵与有公共点，∴三点共线.
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
【例题7-1】已知向量，且，则_____.
【答案】或
【解析】因为，所以，解得或4. 故答案为：-1或4.
【方法技巧与总结】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
（1）利用向量共线定理列方程组求解．
（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解．
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
【变式7-1】已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．
【答案】
【解析】因为，则，由基本不等式可得，可得，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.
【变式7-2】已知向量．
(1)求；
(2)求满足的实数和的值；
(3)若，求实数k的值．
【解析】（1）因为，
故，故.
（2）因为，，即，
故可得，解得，故实数分别为.
（3）因为，
则，，
因为，故可得，解得，故实数的值为.
题型八：定比分点坐标公式及应用
【例题8-1】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】由题可知，设，则，，，
∴.故答案为：.
【方法技巧与总结】
用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
【变式8-1】已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________．
【答案】
【解析】因为P是线段靠近的一个四等分点，所以，设，
则有，故答案为：
【变式8-2】已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为______.
【答案】；
【解析】设点，由，，则，，
又，则 ，解得，即，故答案为：.
题型九：数量积的坐标运算
【例题9-1】已知向量，，，若，则______．
【答案】
【解析】，，解得：，，，，
.故答案为：.
【方法技巧与总结】
进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系．
【变式9-1】如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______.
【答案】5
【解析】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，则，，所以.
故答案为：5.
【变式9-2】若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为向量与向量的夹角为钝角，所以且向量与不反向共线.
，解得.当时，，
解得或.其中，与反向共线，所以，且，即或.
故答案为：.
【变式9-3】已知向量，则在方向上的投影向量是_____．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量是.故答案为：
题型十：平面向量的模
【例题10-1】已知，，则______．
【答案】
【解析】由题意得，，所以．故答案为：．
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方．
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【变式10-1】已知向量.
(1)当时，求；
(2)当最小时，求的值.
【解析】（1）当时，，所以.
（2）因为，所以，
所以，所以当取最小时，.
【变式10-2】已知平面向量，，，若，则______.
【答案】
【解析】因为平面向量，，，且，
所以，解得：，或.所以或.
所以，此时；
，此时
综上所述：故答案为：
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
【方法技巧与总结】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由直接求出．
（2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为．
【例题11-1】已知向量,.
(1)当时,求；
(2)当，，求向量与的夹角.
【解析】（1）向量,，则，.
由,可得即，即，
解得或,当,则,则,所以，
当，， ，综上 .
（2）由,,则
由,可得,解得,
所以,,
又,所以.
【变式11-1】已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【解析】（1）由题知，，所以，所以.
（2）由题知，，，，所以，，
所以，所以，所以，
所以，因为，向量与向量的夹角为.
【变式11-2】已知平面向量，满足，，其中.
(1)若，求实数m的值.
(2)若，若与夹角的余弦值.
【解析】（1）因为，，
所以，即，
所以，
又，所以，解得；
（2）因为，所以，解得，
所以，所以，，
所以，，
所以.
题型十二：平面向量数量积的综合应用
【例题12-1】已知是腰长为1的等腰直角三角形，角为直角，点为平面上的一点，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：
【变式12-1】如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图所示：建立平面直角坐标系，
则，，由题意可设：，则，，
，其中，∴的最小值为.故答案为：.
课后巩固练习
1．在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.所以
故选：C
2．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、、，，，，故选：B.
3．已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设与夹角为，因为，，，
所以.故选：C.
4．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值，即，且，
解得，且，所以实数的取值范围为．故选:A
5．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】设，，因为，所以，，
所以点G是的重心，设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．因为B、H、D三点共线，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.故选：C．
6．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】因为，所以，为单位向量，，又因为，所以，即，在方向上的投影为，
所以在方向上的投影向量为.故答案为：.
7．在中，点D在边BC上，且，若，则___________.
【答案】2
【解析】由，得，
则在中，，
因，故 ，因此.故答案为：2.
8．已知平面向量，，.
(1)若，求x的值；
(2)若（为负实数），求x，的值.
【解析】（1）因为，所以，因为，，，
所以，所以；
（2）因为（为负实数），所以，因为，，，
所以，解得，或，
当时，，，所以；
当时，，，所以，不合题意，舍去，所以，.
9．（1）已知向量的夹角为60°，，求．
（2）设与是两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解析】（1）向量的夹角为60°，，
所以，则，，解得：.
（2），
又因为，若A，B，D三点共线，则存在实数使得，
则，解得：.
平面向量基本定理及坐标表示 随堂检测
1．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，，则．故选：A．
2．已知，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C．9 D．
【答案】A
【详解】因为与共线，所以，解得.故选：A.
3．已知向量，，若，则（ ）
A．－1 B．6 C．－6 D．2
【答案】B
【详解】向量，，则，由，得，解得.
故选：B
4．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】点在线段的延长线上，且，，即,
所以．所以点P的坐标为.故选：D.
5．已知，，且与平行，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，所以，，
若与平行，则，得x＝2.故选：C.
6．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为向量，，且，所以，则，
而.故选：A.
7．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，∴，，
设，∵E，F，P三点共线，∴，解得，
于是．故选：B.
8．已知向量，，，且，则_____.
【答案】
【详解】，由可知 解得故．
9.在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.
【答案】
【详解】取中点，连接，如图，
由可得，即，所以三点共线且，即为的重心，所以，因为三点共线，所以，
又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：
10．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】(1)1；(2)2；(3)证明见解析
【详解】（1），；
（2），所以，解得：，所以；
（3）因为，所以，所以A，，三点共线.
运算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则