（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义05 三角函数的性质+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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1、正弦函数、余弦函数的图象
（1）正弦函数的图象．
= 1 \* GB3 ①画点
在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．
= 2 \* GB3 ②画（）的图象
把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象．
= 3 \* GB3 ③（）的图象
由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线．
= 4 \* GB3 ④五点作图法
在函数，的图象上，有以下五个关键点：
，，，，．
画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”．
（2）余弦函数的图象
因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象．
余弦函数，的图象叫做余弦曲线．
余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，．
2、正弦函数、余弦函数的性质
（1）周期性
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，
那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．
余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．
（2）奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
（3）单调性
正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．
余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．
（4）最大值与最小值
正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．
余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．
3、正切函数的图象
正切函数的图象叫做正切曲线．
4、正切函数的性质
（1）定义域
正切函数的定义域为
（2）周期性
正切函数是周期函数，最小正周期是．
（3）奇偶性
正切函数是奇函数．
（4）单调性
正切函数在每一个开区间（）上都单调递增．
（5）值域
正切函数的值域是实数集．
【典型例题】
例1．已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
例2．已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2) 有零点，求的范围.
例3．已知函数.
(1)请用五点法做出一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.
例4．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
例5．已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
例6．已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．
②函数的一条对称轴为且；
(1)求函数的解析式；
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
3．函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
5．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
7．已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A．是偶函数B．是图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．当时，函数取得最小值
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数图像关于直线对称
C．函数的值域为
D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
三、填空题
11．已知函数，若存在，有，则的最小值为______．
12．函数的值域为_____________．
13．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．
四、解答题
14．函数的部分图象如图所示．
(1)写出的最小正周期及图中、的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
15．设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
16．已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间．
17．函数的最小值为，
(1)当时，求；
(2)若，求实数
18．已知点、是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，当时，的最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间．
19．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
三角函数的性质 随堂检测
如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点(eq \f(4,3)π,0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
已知函数y＝sinωx在[- eq \f(π,3),eq \f(π,3)]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )
A.[- eq \f(3,2),0) B.[－3,0) C.(0,eq \f(3,2)] D.(0,3]
已知f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.－eq \f(π,6) D.－eq \f(π,3)
函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|≤eq \f(π,2))的部分图象如图所示，若方程f(x)＝a在[- eq \f(π,4),eq \f(π,2)]上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A.[eq \f(\r(2),2)，eq \r(2)) B.[- eq \f(\r(2),2)，eq \r(2)) C.[- eq \f(\r(6),2)，eq \r(2)) D.[eq \f(\r(6),2)，eq \r(2))
函数y＝ eq \r(cs x－\f(\r(3),2))的定义域为________.
函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________.
将函数y＝eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x的图象向右平移θ(θ＞0)个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是________.
已知函数f(x)＝Acs2(ωx＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))A>0，ω>0，0