（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义01 平面向量的概念及线性运算+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线.
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
【例题1-1】关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【例题1-2】下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④在平行四边形中，．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【变式1-2】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
角度2：模
【例题2-1】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1B．C．3D．
【例题2-2】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
（4）的相反向量有______．
【例题2-3】已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】已知，，，则（ ）．
A．1B．2C．3D．2或者6
【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，，，则______．
【变式2-3】如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的最小值是____________；最大值是____________.
角度3：零向量与单位向量
【例题3-1】下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例题3-2】如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例题3-3】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
【变式3-1】下列说法正确的是（ ）
A．在正方形中,
B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上
C．零向量可以与任一向量共线
D．零向量可以与任一向量垂直
【变式3-2】下列说法中不正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为1的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等
【变式3-3】下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的大小为0，没有方向
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
角度4：相等向量
【例题4-1】对于向量、，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题4-2】窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且、、、分别是、、、的中点，则与相等的向量为________，的负向量为________．
【变式4-1】下列叙述中正确的个数是：（ ）
①若，则；②若，则或；③若，则④若，则⑤若，则
A．0B．1C．2D．3
【变式4-2】如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
【例题5-1】设为对角线的交点，为任意一点，则（ ）
A．B．C．D．
【例题5-2】设点，，分别是的三边，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【例题5-3】如图，，，，分别是梯形的边，，，的中点，，，，，用，表示下列各式．
(1)；(2)．
【变式5-1】（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
角度2：平面向量的数乘
【例题6-1】在平行四边形中，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【例题6-2】已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（ ）
A．B．1C．2D．
【例题6-3】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】在中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】如图，在中，，若，则__________．
高频考点三：共线向量定理的应用
【例题7-1】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．5
【例题7-2】在中，，，与相交于点，设，
(1)用，表示；
(2)过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值.
【变式7-1】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
【变式7-3】如图，在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．，设，．
(1)试用基底，，表示，，；
(2)若G为长方形内部一点，且，求证：E，G，F三点共线．
第01讲 平面向量的概念及其线性运算 随堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
3．如图，在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
4．是内的一点，若，，则（ ）
A．B．1C．D．
5．如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（ ）
A．B．C．D．
6．给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
7.已知向量不共线，且，，．
(1)用表示；
(2)若，求的值，
8．如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．
(1)若，求的值；
(2)设，，试用，表示．