湖南省平高教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（学生版）

这是一份湖南省平高教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 18
2. 已知，复数的实部是虚部的3倍，则（ ）
A. B. 2C. 1D.
3. 已知直线，，则“”充要条件是（ ）．
A. B.
C. 或D. 或4
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 6
6. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（ ）．
A 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 将函数图象的向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
C. 图象的一个对称中心为点
D. 的单调递增区间为
10. 已知为椭圆：上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（ ）
A. 的周长为定值10
B. 面积的最大值为
C. 的最大值为
D. 若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为
11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当∥平面时，二面角的余弦值为
D. 若二面角大小为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则________．
13. 已知双曲线：的右焦点为，则点到的一条渐近线的距离为________．
14. 对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，．
（1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）若成绩在前25%学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？
（3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率．
16. 已知点，，，圆是的外接圆．
（1）分别求直线，的斜率；
（2）求圆的方程；
（3）若直线：与圆相交于，两点，求的最小值．
17. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求．
18. 如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥．

（1）证明：．
（2）当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积．
（3）当时，求平面与平面夹角余弦值．
19. 已知双曲线：（，）过点，且离心率为．
（1）求双曲线的方程．
（2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点．
①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于．
②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上．