湖南省长沙市平高教育集团六校2023-2024学年高一上学期期末 数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市平高教育集团六校2023-2024学年高一上学期期末 数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
高一 数学 试卷
本试题卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
2. 若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是
A. B. C. D.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. 德国数学家狄里克雷（Jhann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．
9. 已知角终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点
B. 奇函数
C. 在定义域上单调递减
D. 在内的值域为
11. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 充要条件是
D 若，则至少有一个大于1
12. 设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A. 4与3B. 5与3C. 6与4D. 8与4
三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分．
13. 计算：______.
14. 扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是，则此扇形的面积为________．
15. 若，则的最小值是_____．
16. 已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
四、解答题，本题共6小题，17题10分，其它各题12分，共70分．
17 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
18. 已知二次函数的图象过点.
（1）求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
（2）求不等式的解集．
19. 已知函数，且．
（1）求a．
（2）用定义证明函数在上是增函数．
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
20. 已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
21. 为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长.
（1）写出第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？
（参考数据：）.
22. 已知函数的定义域关于原点对称，且．
（1）求b，c的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
2023～2024年度
平高教育集团湖南六校秋季学期期末质量检测
高一 数学 试卷
本试题卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，即得解.
【详解】若，则，不合题意，舍去；
若，则，易知当时满足题意.
故选B
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2. 若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.
详解：若是第一象限角，则：
位于第一象限，
位于第二象限，
位于第四象限，
位于第三象限，
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可.
【详解】函数定义域需满足，解得且，即，
故选：C
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根的存在性定理结合单调性讨论函数零点所在区间.
【详解】由题：在其定义域内单调递增，
，
，
所以函数在一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间.
故选：C
【点睛】此题考查根据根的存在性定理确定函数零点所在区间，关键在于准确得出区间端点函数值的正负，结合单调性说明函数零点唯一.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数和指数函数的性质可得.
详解】，且，
，
，
故，
故选：A.
6. 德国数学家狄里克雷（Jhann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可知.检验或化简各项，即可得到答案.
【详解】根据函数定义，知若，则.
，是个有理数.而其它选项都是无理数.
故选：C．
7. 若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数（且）在R上为减函数知道.即在上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.
【详解】因为函数（且）在R上为减函数.
所以 .
因为函数，定义域为，故排除A、B.
当时，函数在上单调递减.
当时, 函数在单调递增.
故选:D.
【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数（且）在R上为减函数，判断出，即.在上单调递减.
8. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，
当时，函数至多两个零点，
因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，
当时，令，可得，必有，解得，
所以，，解得；
当时，由，可得或，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C.
二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点
B. 为奇函数
C. 在定义域上单调递减
D. 在内的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将代入求出函数解析式，根据幂函数性质判断选项即可.
【详解】函数的图象经过点，得，得，
所以，
对于A. 代入，即成立，故A正确；
对于B. 的定义域为，满足，是奇函数，
故B正确
对于C.在定义域内不单调，在上单调递减.故C错.
对于D.当时，，即在内的值域为.故D正确.
故选：ABD
11. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 的充要条件是
D. 若，则至少有一个大于1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.
【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；
对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；
对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；
故选：BD.
12. 设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A. 4与3B. 5与3C. 6与4D. 8与4
【答案】BCD
【解析】
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】令，，
∴，∴为奇函数，
设的最大值为t，最小值为，
∴，，可得，
∵，∴2b为偶数，
故选：BCD
三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分．
13. 计算：______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数幂的乘方运算性质即可求解.
【详解】.
故答案为：
14. 扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是，则此扇形的面积为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
因为扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是，可得，解得，
所以扇形的面积为.
故答案为：.
15. 若，则的最小值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】，利用基本不等式可得最值．
【详解】∵，
∴，
当且仅当即时取等号，
∴时取得最小值3.
故答案：3．
16. 已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性列不等式，解出的取值范围即可.
【详解】要使函数是的递减函数，
只需，
当时，不成立；
当时，可化为，解得：，
即实数的范围是.
故答案为：.
【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为： 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)； 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).
四、解答题，本题共6小题，17题10分，其它各题12分，共70分．
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用并集的概念计算即可；
（2）利用交集和补集的概念计算即可.
【小问1详解】
易知；
【小问2详解】
易知.
18. 已知二次函数的图象过点.
（1）求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，求解即可；
（2）原不等式可转化为，根据一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，
所以,解得.
所以的解析式为.
，故的单调递增区间为.
【小问2详解】
即为,
即，解得或.
故不等式的解集为.
19. 已知函数，且．
（1）求a．
（2）用定义证明函数在上是增函数．
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）最大值为和最小值为
【解析】
【分析】（1）根据，列出方程，即可求解；
（2）化简，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由（2）知，得到在上为单调递增函数，进而求得函数的最值.
【小问1详解】
解：因为函数，且，可得，解得；
小问2详解】
解：由（1）知，
任取且，
则，
因为且，可得，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
【小问3详解】
解：由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为和最小值为.
20. 已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；
（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案
【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，无解或，，
∴.
21. 为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长.
（1）写出第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？
（参考数据：）.
【答案】（1），
（2）该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元
【解析】
【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，然后利用对数运算求解集.
【小问1详解】
第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）
则，
其定义域为
【小问2详解】
由（1）得
所以，即
所以，故该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元.
22. 已知函数的定义域关于原点对称，且．
（1）求b，c的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）为奇函数
（2）
【解析】
【分析】(1)根据奇函数定义域的对称性即可确定参数，再根据奇函数的定义即可求解; (2)根据分离常数法和参编分离确定范围即可求解.
【小问1详解】
由题意，的定义域满足，
即的解集关于原点对称，
根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故．
∴，
∴，
∴.
又定义域关于原点对称，
,
故
为奇函数．
【小问2详解】
由（1），
因为∵，
∴，
∴的值域为
故关于x的方程有解，
即在上有解．
令，
则，
∵在上单调递增,
的值域为,
即m的值域为，
即实数m的取值范围为．