黑龙江省龙东十校联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D. 2或
4.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5.某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少。经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
6.函数在定义域内的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知数列的通项公式为，其前n项和为，则取得最小值时n的值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
8.已知定义在上的函数的导函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数的图像与轴相切于点的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为递增数列，则公差
B. 公差时，有最大值
C. 若中有不同的四项满足，则
D. 为等差数列
11.已知函数（），则（ ）
A. 时，函数在上单调递增
B. 时，对任意的恒成立
C. 时，有两个零点
D. 时，有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，，则实数_______
13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列．则数列的通项公式__________
14.已知过点与曲线相切的直线有两条，
则实数的取值范围是_________
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知等差数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式.
（2）求证：
16.（本小题满分15分）
已知函数（）.
（1）若，求函数的单调区间.
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，满足，
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
（2）设数列的前n项和为，求.
（3）数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
已知函数,定义域为.
（1）讨论的单调性.
（2）若函数在定义域内有两个极值点
①求实数的取值范围.
②时，，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知函数，定义域为.
（1）时，证明：.
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）求证：（）
数学试题参考答案
一、单项选择题：
1.【解析】由图知，，，函数单增；，，函数单减；所以函数在处取极大值，所以选B.
2.【解析】，，数列的周期为3，，所以选D.
3.【解析】，设公比为，则或
所以选C.
4.【解析】，所以递增区间是，所以选A.
5.【解析】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则数列满足.
可得数列是一个公差为的等差数列，因为购进设备的价值为230万元，
这样，于是，
根据题意得：，所以选B.
6.【解析】，
这样在上递减，在上递增，所以，所以选D.
7.【解析】设，，解得：，
当和时，，所以取得最小值时，，所以选C.
8.【解析】设，再设，则
这样在上递增，所以，所以B错误
对于A，可以举例否定，如：令，显然满足，
但是，所以A错误；
，所以C错误，D正确
故选D.
二、多项选择题：
9.【解析】
A.，当时，，所以切线方程为，正确；
B.，当时，，在的切线斜率不为0，不符合题意；错误；
C.，当时，，所以切线方程为，正确；
D.在的切线斜率不为0，不符合题意，错误。
故选AC.
10.【解析】
A.为等差数列且递增，所以，正确；
B.等差数列的前n项和为，易得时，有最大值，正确；
C.当为常数列时，任意四项满足，但
不一定成立，错误；
D.设，则是等差数列，正确。
故选ABD.
11.【解析】
A.时，，在上单调递增，错误；
B.时，在上单调递增，
所以，正确；
C.a＞1时，，
，而时，，
所以在有唯一零点，显然在有唯一零点，所以正确；
D.由C的推导知，在上递增，在上递减。时，，，所以在上有唯一零点；
令，当时，，
此时在恒小于0，无零点，所以错误。
故选BC.
三、填空题：
12.【解析】，这样.
13.【解析】由题意可知，，，，…，
；，这样，
所以数列的一个通项公式为.
14.【解析】，设切点为，
则切线方程为，
切线过点有：，若，则，矛盾的定义域是，
所以在上有两解，
设，
，时，，时，，
所以
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】等差数列中，，
，设等差数列的公差为，
所以，故 ……………………6分
（2）， ……………8分
当时，成立； …………9分
当时，
所以成立。————13分
16.（本小题满分15分）
【答案】（1）增区间是，减区间是；（2）
【解析】（1）时，，
或， ………………4分
所以的增区间是，减区间是 ………………6分
（2），当时，在上递增，在上递减，
所以， ………………10分
当时，在上递减，在上递增，
所以， ……………14分
综上，的取值范围是 …………15分
17.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）Tn=(n−1)2n+1+2−n(n+1)2；（3）见解析
【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+1可得：，Sn=2Sn−1+n，
两式相减得，即，
从而（） ………………………3分
当时，S2=2S1+2，所以，a2+a1=2a1+2，
又a1=1得a2=3，从而． ………………………4分
故总有，，a1+1=2≠0从而，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
an+1=2n，所以an=2n−1 ………………………5分
（2）Tn=a1+2a2+⋯+nan=2+2×22+3×23+⋯+n×2n−(1+2+⋯+n)
=2+2×22+3×23+⋯+n×2n−n(n+1)2 记为①式 …………………6分
2Tn=22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1−2×n(n+1)2 记为②式 …………7分
①-②得：−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1+n(n+1)2=(1−n)2n+1−2+n(n+1)2……9分
所以Tn=(n−1)2n+1+2−n(n+1)2 …………………11分
（3）假设中存在三项成等差数列，
则， ………………13分
两边同时除以得：，而，
所以为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立。
故不存在不同的三项成等差数列。 ………………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1）当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减；（2）① ②或4
【解析】
，设， ……2分
（1）1）时，
在上递增； …………………4分
2）或，，
当时，，，
方程的两根都为正，
所以在上递增，在上递减； …………………6分
当时，，，
方程的两根都为负，
所以在上递增。 …………………8分
综上：当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减。 …………………9分
（2）①由（1）知：函数在定义域内有两个极值点，
实数的取值范围应为； …………………11分
②由①知：满足，方程的两根就是两极值点，
由韦达定理有： ………12分

将韦达定理代入及得：（※）………14分
设 …………15分
在递增，在递减，（※）
所以或，满足 ……………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1）见解析；（2） （3）见解析
【解析】
（1）时，
设，在递减，
所以，故要证不等式成立 ………………3分
（2）令，则题意等价于：当时，恒成立.
显然，而. ………………4分
当时，，
所以在上单调递增，
所以，当时，，符合题意； ………………6分
当时，记，则抛物线的开口向上，对称轴为，又，
这样当时，，从而，
所以在上单调递减，故当时，，不符合题意.
综上：. ………………8分
（3）由（1）知：时，，令……………9分
所以
要证不等式右侧成立 ………………11分
由（2）知：令，则 ………………12分
所以，当时，，要证不等式左侧成立……13分
时，
，
所以
综上，要证不等式成立 ………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
B
D
C
D
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
BC
题号
12
13
14
答案
1