黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

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一、单项选择题：
1.【解析】数据排序，，第位与第位平均数为，选D
2.【解析】焦点在轴的双曲线渐进方程为，选C.
3.【解析】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为，选C.
4.【解析】，选A.
5.【解析】因为，所以，所以，选D.
6.【解析】椭圆中，设右焦点为，则为正三角形，线段的垂直平分线过，有，所以的周长为，选B．
7.【解析】圆心到距离为，弦长，，由两圆相离知，两圆内含或外离，由或，选D.
8.【解析】 由题，设，由双曲线定义，得，所以，，在中，，选B．
二、多项选择题：
9.【解析】样本空间
A. ，错误；
B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确.
选BD.
10.【解析】
A. 设，则 整理可得，正确；
B. 圆圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆上点到直线最小距离为，错误；
C. 设，则，解得，正确；
D. ，，，正确.
故选ACD.
11.【解析】
A. 设，因为点到点的距离是点到直线距离的一半，所以，化简可得，正确；
B. 联立方程组，可得，解得，故存在点，所以直线是“最远距离直线”，正确；
C. 设椭圆的右焦点为，由椭圆定义得，正确；
D. 圆圆心为，半径为，易得点的轨迹与圆交于点，错误.
故选ABC.
三、填空题：
12.【解析】的标准差为，则其方差为，则的方差为.
13.【解析】直线过且存在斜率，圆圆心,当时，截得的弦长最短，且弦长为.
14.【解析】蒙日圆的标准方程为,不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴正、负半轴交点，可知.
则直线的方程为，
由，消得到，
令，解得，，
所以，所以，
所以四边形的面积为，
易知四边形为正方形，且，所以四边形的面积为，
所以四边形与四边形的面积的比值为,
因为椭圆离心率为 ，所以，得，即，所以.
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题，
样本空间，， ……………………3分
设“恰好道传统文化题和历史文化题”，，，
由古典概型公式得，
所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为. ……………………6分
设“甲答对道题”（），
；； ……………………8分
设“乙答对道题”（），
； ， ……………………10分
设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”
由两人答题是否正确相互独立，有

所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为. ……………………13分
16.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）一至六组的频率分别为，
所以，平均数为.…………3分
由图可知，众数为.
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.……5分
（2）前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
第%分位数落在第组,设为，则，解得.
“人工智能科普达人”的成绩至少为分. ……………………10分
（3）)的频率为，)的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为. ……………………15分
17.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）和.
【解析】（1）由题可知，该方程表示圆，则，
即，解得,又由
则实数的取值范围为. ……………………5分 （2）令，
函数开口向下，对称轴，
当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，………………………7分
当切线的斜率不存在时，满足题意； ……………………9分
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即kx−y−4k−4=0．
圆心2,−1到切线的距离等于半径长，即，解得，
所以切线方程为，即,
综上所述，所求切线方程为和. ……………………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，
所以椭圆的标准方程为. ……………………4分
（2）由题可知直线和与轴都不平行，
设直线：，联立，消去得：，
设，则. ……………………10分
设，用代替得.
所以直线的方程为,
令，得,
所以直线过定点. ……………………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）由题意知，显然点在直线的下方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为. ……………………4分
（2）设，切线，代入得:
，
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立.
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故 .
所以，所以，
所以，所以. ……………………10分
（3）设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
由得
因为，
所以直线为的等线 . ……………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
A
D
B
D
B
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABC
题号
12
13
14
答案