黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知一组数据为8,4,7,6,9,12,11,3 ，则这组数据的上四分位数为（）
A. 4B. 5C. 9D. 10
双曲线 y 2  x2  1的渐近线方程为（）
43
y  2x
y   1 x
2
y   2 3 x
3
y   3 x
2
甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是 1 , 1 ，则密码破译的概率是（）
3 2
1B.
6
C.
3
D. 5
36
若椭圆C 的两个焦点分别是 F1(2,0) ， F2 (2,0) ，椭圆C 上一点 P 到两焦点距离之和等于8 ，则该椭圆的标准方程为（）
2
2
x  y  1
1612
x  y  1
2
2
328
x  y  1
2
2
164
x  y  1
2
2
6416
已知两直线l1 : ax  4 y 1  0 ， l2 : x  ay  2  0 ，若l1 // l2 ，则 a  （）
A.  2 或0B. 2C. 0D. 2 或 2
已知椭圆
x2y 2
的上顶点为
，左焦点为
，线段
的垂直平分线与 交于两
C : 1A
1612
F1AF1
CM , N
点，则ΔAMN 的周长是（）
A． 24B．16C．12D． 8
已知圆C1 : x  y  r (r  0) 与圆C : (x  m)  y  1相离，且直线l : x  y  2  0 被圆C1 截得的弦
22222
2
长为2
2 ，则实数 m 的取值范围是（）
(1,1)
(,3) ∪ (3,)
(3,3)
(,3) ∪ (1,1) ∪ (3,)
如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线
x2y 2
的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 E : a2  b2  1(a  0,b  0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，
从 F 发出的光线经过图2中的 A, B 两点反射后，分别经过点C 和 D ，且tan BAC   4 ，
23
AB  BD ，则 E 的离心率为（）
A.5B.
2
17C.
3
10D.
5
2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件 A 为“点数为偶数”，事件 B 为“点数是1 或
4 ”，事件C 为“点数大于3 ”，下列说法正确的是（）
A． A 和 B 是互斥事件B． B 和C 是相互独立事件
C． P(B  C)  5
6
D． P( AC)  1
3
已知平面上两点 A, B ，则所有满足 | PA |  k (k  1) 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊
| PB |
数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 xOy 中两点 A(0,1) ， B(0,1) ，点 P 满足
| PA | 
| PB |
2 ，设点 P 所构成的曲线为C ，则（）
2
曲线C 的方程为 x2  y 2  6 y  1  0
2
曲线C 上的点的到直线 x  y  3  0 的最小距离为2
曲线C 上任意点 M (x, y) ，则 x  y 的最大值为1
曲线C 上任意点 M (x, y) ，则 x2  y 2 的取值范围为[17 12 2,17  12 2 ]
1
已知点 F (1,0) ，直线l : x  4 ，且动点 P 到点 F 的距离是点 P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在点Q 使得点Q 到点 F 的距离是点Q 到直线l 的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（ ）
2
点 P 的轨迹方程是 x
4
 y 2 
3
直线l: x  2 y  4  0 是“最远距离直线”
平面上有一点 A(1,1) ，则| PA |  | PF |的最大值为5
点 P 的轨迹与圆C : x2  y 2  2x  0 是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知一组样本数据 a1 , a2 ,, an 的标准差为2 ，则数据3a1 1,3a2 1,,3an 1 的方差为 .
直线l : mx  y 1  0 被圆 x2  y 2  2x  24  0 截得的弦长最短为.
已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭
x2y 2
圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆Ω: a2  b2
 1(a  b  0)
及其蒙日圆 O ， 且椭圆 Ω的离心率为
2 ， 点 A, B,C, D 分别为蒙日圆 O 与坐标轴的交点，
2
AB, BC,CD, AD 分别与Ω相切于点 E, F ,G, H ，则四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积的比值为
．
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别
从包含3 道传统文化题和2 道数学历史题的题袋中随机抽取2 道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
求甲抽到的2 道题中恰好是1 道传统文化题和1 道数学历史题的概率；
若甲答对每道题的概率均为0.8 ，乙答对每道题的概率均为0.7 ，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于3 道的概率.
16.（本小题满分 15 分）
某地区有小学生9600 人，初中生8600 人，高中生4500 人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220 名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
成绩位列前15 %的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
已知落在[60,70) 内的平均成绩为66 ，方差是9 ，落在[60,80) 内的平均成绩是72 ，方差是27 ，求落在[70,80) 内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为： m, x , s2 ; n, x , s2 .记两组数据总体样本
1 12 2
平均数为 w ，则总体样本方差 s2 m [s2  (x  w)2 ] n[s2  (x  w)2 ]
m  n 11m  n22
17.（本小题满分 15 分）
已知 x2  y 2  4x  2my  2m2  2m  1  0(m  0) 表示圆C 的方程．
求实数 m 的取值范围；
当圆C 的面积最大时，求过点 A(4,4) 的圆的切线方程．
18.（本小题满分 17 分）
x2y 2
已知椭圆C : a2  b2  1(a  b  0) 的左、右焦点分别 F1 , F2 ，左、右顶点分别为 B1 , B2 ，若
．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分）
①| B1F1 | 1， | B2 F1 | 3 ．
②椭圆C 长轴长为4 ，焦距为2 ．
求椭圆C 的方程；
过点 B2 作两条互相垂直的弦与椭圆C 相交于 M , N 两点.当点 M 变化时，直线 MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
19.（本小题满分 17 分）
在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称
x2y 2
l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线 E : a2  b2  1(a  0,b  0) 的左、右焦点分别
为 F1, F2 ，双曲线 E 的离心率为2 ，点 P 为 E 右支上一动点，直线 m 与双曲线 E 相切于点 P ，且与 E
的渐近线交于 A, B 两点，当点 P 在第四象限且 PF2  x 轴时，直线 y  1 为ΔPF1F2 的等线.
求双曲线 E 的标准方程；
若 y 3 x 是四边形 AF BF 的等线，求四边形 AF BF 的面积；
21212
设OG  1 OP ，点G 的轨迹为曲线Γ，证明:Γ在点G 处的切线 n 为ΔAF F 的等线.
31 2
龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：
【解析】数据排序3,4,6,7,8,9,11,12 ， 8  0.75  6 ，第6 位与第7 位平均数为10 ，选 D
【解析】焦点在 y 轴的双曲线渐进方程为 y   a x ，选 C.
b
【解析】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为1  (1  1)(1  1 )  2 ，选 C.
323
【解析】 2a  8, a  4, c  2,b2  a2  c2  12 ，选 A.
【解析】因为l1 // l2 ，所以 a  4  0,a  8  0 ，所以 a  2 ，选 D.
2
【解析】椭圆中 a  4,b  2 3, c  2 ，设右焦点为 F2 ，则ΔAF1F2 为正三角形，线段 AF1 的垂直平分
2
线过 F2 ，有| AM || F1M |,| AN || F1 N |,| MN || MF2 |  | NF2 | ，所以ΔAMN 的周长为4a  16 ，选 B．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
A
D
B
D
B
2
【解析】圆心C1 到l 距离为
，弦长 2
 2 r 2  (
2 , r  2 ， | C C
|| m |，由两圆相离知，两
1
2
圆内含或外离，由| m | 1 或| m | 3 ，选 D.
【 解 析 】由 题 ， 设 | BF1 | 4t,| AB | 3t,| AF1 | 5t ， 由 双 曲 线 定 义
| AF |  | AF | 2a,| BF |  | BF | 2a ， 得 t  2a ， 所 以 | BF | 8a ， | BF | 2a ， 在 RtΔBF F 中
1212
313231 2
(8a )2  ( 2a )2  (2c)2 ， e  c  17 ，选 B．
33a3
二、多项选择题：
【解析】样本空间Ω {1,2,3,4,5,6,}，A  {2,4,6}，B  {1,4},C  {4,5,6}
A ∩ B  {4} ，错误；
P(B)  1 , P(C)  1 , P(BC)  1  P(B)P(C) ，正确；
326
P(B  C)  4  2 ，错误；
63
P( AC)  2  1 ，正确.
63
选BD.
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABC
【解析】
设 P(x, y) ，则
| PA |
| PB |

x2  ( y  1)2
x2  ( y 1)2
2
整理可得 x2  y 2  6 y  1  0 ，正确； 2
2
圆 C 圆心 (0,3) ， 半径 r  2 2 ， 圆心到直线 x  y  3  0 的距离 3， 所以圆 C 上点到直线
2
x  y  3  0 最小距离为3
 2
 2 ，错误；
2
2
2
设t  x  y ，则| 0  3  t |  2，解得 7  t  1 ，正确；
(| OC | r)2  x2  y 2  (| OC | r)2 ， | OC | 3 ， r  2
2 ，正确.
(x 1)2  y 2
故选 ACD. 11.【解析】
x2
P(x, y)
1
y 2 
P F P l
2
| x  4 |
43
x  2 y  4  0,3

x2  y 2 
(x 1)2  1
x  1
Q(1, )
 4312
l : x  2 y  4  0
远距离直线”，正确；
F 
| PA |  | PF || PA | 4 | PF  | 4 | AF  | 4  1  5
C : x2  y 2  2x  0
(1,0)
P C
(2,0) ，错误.
故选 ABC.
三、填空题：
【解析】 a1 , a2 ,, an 的标准差为2 ，则其方差为4 ，则3a1 1,3a2 1,,3an 1 的方差为9  4  36 .
【解析】直线l : mx  y 1  0 过 A(0,1) 且存在斜率，圆 x2  y 2  2x  24  0 圆心C(1,0), r  5 ,当
题号
12
13
14
答案
36
2 23
9
4
r 2  | CA |2
CA  l 时，截得的弦长最短，且弦长为2
 2
 2 23 .
25  2
【解析】蒙日圆的标准方程为 x2  y 2  a2  b2 ,不妨设 A,C 为蒙日圆与 x 轴正、负半轴交点， B, D
a2  b2
为蒙日圆与 y 轴正、负半轴交点，可知| OA || OD |.
a2  b2
则直线 AD 的方程为 y  x ，
x2  y 2 
由

a2b21，消 y 得到(a2  b2 )x2  2a2 a2  b2 x  a4  0 ，
a2  b2
 y  x 
令Δ  (2a
a2  b2
2
)2  4(a2
 b2
)a4
 0 ，解得
a2
a2  b2
xH ，
a2
a2  b2
yH  

b2
a2  b2
a2  b2

2
，
a2  b2
2
所以 H (a
,b) ，所以| EH |
2a22b2
a2  b2
a2  b2
,| HG |，
a2  b2
4a2b2
所以四边形 EFGH 的面积为 S2  a2  b2 ，
2 a2 b2
1
易知四边形 ABCD 为正方形，且| AD |，所以四边形 ABCD 的面积为 S  2(a2  b2 ) ，
所以四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积的比值为 S1 
S
2(a2  b2 )
4a2b2
(a2  b2 )2

,
2a2b2
2
a2  b2
22c2
b21
b2122
因 为 椭 圆 离 心 率 为
2
， 所 以 e
 a2  1  a2  2 ， 得
a2  2 ， 即
a  2b
， 所 以
S1 
S2
(a2  b2 )2
2a2b2
 9 .
4
四、解答题:
15.（本小题满分 13 分）
【答案】（ 3
5
【解析】（1）
0.7392
A, B,C
a,b 5 2
Ω {AB, AC, Aa, Ab, BC, Ba, Bb,Ca,Cb, ab}
n(Ω)  10
…3 分
M  1
P(M )  n(M )  6  3
n(Ω)105
M  {Aa, Ab, Ba, Bb,Ca,Cb}
n(M )  6
2 1 13
5
设 Di  “甲答对i 道题”（ i  1,2 ），
…6 分
P(D1)  0.8  0.2  2  0.32 ； P(D2 )  0.8  0.8  0.64 ；8 分
设 Ei  “乙答对i 道题”（ i  1,2 ），
P(E1)  0.7  0.3 2  0.42 ； P(E2 )  0.7  0.7  0.49 ，10 分
设 N  “甲、乙两人答对题目总数不少于3 道”
由两人答题是否正确相互独立，有
P(N )  P(D1E2  D2 E1  D2 E2 )  P(D1E2 )  P(D2 E1 )  P(D2 E2 )
 P(D1 )P(E2 )  P(D2 )P(E1 )  P(D2 )P(E2 )
 0.32  0.49  0.64  0.42  0.64  0.49  0.7392
所以，甲、乙两人答对题目总数不少于3 道的概
0.7392
…13 分
16.（本小题满分 15 分）
【答案】（1 71,75 （2） 86 （3） 75,9
【解析】（1）一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05 ，
所以，平均数为45  0.10  55  0.15  65  0.15  75  0.30  85  0.25  95  0.05  713 分
由图可知，众数为75 .
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71 分，众数为75 分5 分
（2）前4 组的频率之和为0.01  0.15  0.15  0.30  0.70  0.85 ，前5 组的频率之和为0.70  0.25  0.95  0.85 ，
第85 %分位数落在第5 组,设为 x ， 0.70  (x  80)  0.025  0.85 ，解得 x  86 .
“人工智能科普达人”的成绩至少为86 分10 分
60,70)的频率为0.15 ， 70,80 )的频率为0.30 ，
所以60,70) 的频率与60,80) 的频率之比为
0.15 1
0.15  0.303
70,80 的频率与60,80 的频率之比为
0.30 2
0.15  0.303
设70,80 内的平均成绩和方差分别为 x ,s2 ，
x2
2 2
依题意有72  1  66  2  x ，解 75
332
27  1 [9  (66  72）2 ]  [s2  (75  72)2 ] s2  9 ，
322
所以70,80 内的平均成绩 75 915 分
17.（本小题满分 15 分）
【答案】（1） (0,3) ；（2） x  4 和5x  12 y  28  0 .
【解析】（1）由题可知(x  2)2  ( y  m)2  3  2m  m2 ，该方程表示圆，则3  2m  m2  0 ，
即 m2  2m  3  0 ，解得1  m  3 ,又由 m  0
则实数 m 的取值范围为(0,3)5 分
（2）令 y  3  2m  m2  (m 1)2  4, m (0,3) ，函数开口向下，对称轴 m  1(0,3) ，
当 m  1时，圆C 的面积取得最大值，此时圆的方程为(x  2)2  ( y  1)2  4 ，7 分
当切线的斜率不存在时， x  4 满足题意；9 分
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y  4  k (x  4) ，即??−?−4?−4 = 0．
1  k 2
圆心(2,−1)到切线的距离等于半径长，即| 2k  1  4k  4 |  2 ，解得 k   5 ，
12
所以切线方程为 y  4   5 (x  4) ，即5x  12 y  28  0 ,
12
综上所述，所求切线方程为 x  4 和5x  12 y  28  015 分
18.（本小题满分 17 分）
2
【答案】（1） x
4
 y 2
3
 1；（2） ( 2
7
,0) .
a  c  1
a  2


【解析】（1）由题意，椭圆焦点在 x 轴上，且a  c  3   c  1 ，则b2  3 ，
2
所以椭圆的标准方程为 x
4
 y 2
3
 14 分
（2）由题可知直线 B2M 和 B2 N 与 x, y 轴都不平行，
设直线 B M ： x  ty  2 ，联立x  ty  2，消去 x 得： (3t 2  4) y 2  12ty  0 ，
2
M (x , y )
12t
2
3x
 4 y
2  12
 6t 2  8
设11 ，则 y1  3t 2  4 , x1  ty1  2  3t 2  410 分
N (x , y )
1t
12t
6  8t 2
设22
，用 代替
t
得 y2  3  4t 2 , x2 
3  4t 2 .
y  12t
3t 2  4
 6t 2  8
x  3t 2  4
所以直线 MN 的方程为 12t12t 6  8t 2 6t 2  8 ,
3  4t 2  3t 2  43  4t 2  3t 2  4
令 y  0 ，得 x 
 6t 2  8 
12t 3t 2  4

 6  8t 2
(
 6t 2  82
) 

,
3t 2  4
12t 3  4t 2
 12k 3t 2  4
3  4t 2
3t 2  47
所以直线 MN 过定点( 2 ,0)17 分
7
19.（本小题满分 17 分）
2
【答案】（1） x2  y
3
 1；（2） 8 ；（3）见解析.
【解析】（1）由题意知 P(c, b ), F (c,0), F (c,0) ，显然点 P 在直线 y  1 的下方，
a12
2
因为直线 y  1 为ΔPF F 的等线，所以   b c 2  2  2 ，
1 21
2y 2
( a2 )
2, e
a
2, cab
3
解得 a  1,b 
，所以 E 的方程为 x
 14 分
3
2
设 P(x , y ) ，切线 m : y  y  k (x  x ) ，代入 x2  y 
得:
000031
(3  k 2 )x2  2k (kx  y )x  (k 2 x2  y 2  2kx y  3)  0 ，
00000 0
故[2k (kx  y )]2  4(3  k 2 )(k 2 x2  y 2  2kx y  3)  0 ，
00000 0
该式可以看作关于 k 的一元二次方程(x2 1)k 2  2x y k  y 2  3  0 ，
k  x0 y0 
x0 y0
0
 3x0
0 00
y y
0
所以x2 1
y 2
(1  0 ) 1 3
y，即 m 方程为 x0 x  0  1() ，当 m 的斜率不存在时，也成立.
03
渐近线方程为 y   3x ，不妨设 A 在 B 上方，
xA 
联立得
1
3
y
x0 0
, xB 
1
3
y
x0 0
，故 xA
 xB 
1
3
y
x0 0
1
3
y
x0 0
 2x0
，
所以 P 是线段 AB 的中点，因为 F1, F2 到过O 的直线距离相等，
则过O 点的等线必定满足: A, B 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 P ，即OP 的方程为 y 
3 x ，
2

 y 3 x

由2
y 2

2 3
2 3

，解得x 
3 ，故 P(
,1) .
x2 
3
y 
 1
3x 
 y  13
3
3x0  y0
3 3
y   3x
 
 3
 1
3
3
3
3x0  y0
所以 A
A
x0 
y0
，所以 B
B
x0 
y0，
所以| y
 y | 4 ，所以 S
 1 | F F |  | y  y | 810 分
ABABCD
1 2AB
设G(x, y) ，由OG  1 OP ，所以 x
30
故曲线Γ的方程为9x2  3y 2  1(x  0)
 3x, y0
 3y ，
由（*）知切线为 n ，也为 9x0 x  3y0 y  1 ，即 x x  y0 y  1 ，即
33
3x0 x  y0 y 1  0
033
易知 A 与 F2 在 n 的右侧， F1 在 n 的左侧，分别记 F1, F2 , A 到 n 的距离为
d1, d2 , d3 ，
x 
由（2）知 A
1
3
y
x0 0
, yA 
3 1
3
y
x0 0
y ，
3
3
x0 0
d3 
1
3x0

030
x  y0 x  y0
9x2  y 2
00
3 y0
3
3x  3 y  x 
y
0
00
0
3
0
x  y0
3
9x2  y 2
00

2
2x 
2 y
0
0
3
0
x  y0
3
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
| 6x0 1|6x0  1| 6x0 1|6x0 1
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
由 x0  1 得 d1 , d2 
因为 d2
 d3 
6x0 12
6x0  1
 d1 ，
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
9x2  y 2
00
所以直线 n 为ΔAF1F2 的等线17 分