精品解析：吉林省长春市长春高新技术产业开发区尚德学校2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题+答案

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试卷满分：120分 考试时间：120分钟
一、单项选择（每小题3分，共24分）
1. 9的平方根是（ ）
A. 3B. C. D. 没有平方根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键.
【详解】解：9的平方根是，
故选C.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法，同底数幂的乘法，完全平方式的运算法则以及绝对值的性质．根据二次根式的加法，同底数幂的乘法完全平方式的运算法则以及绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 数字“20210210202”中，数字“0”出现的频数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查频数的定义．根据频数的定义（频数又称“次数”，指变量中代表某种特征的数出现的次数）求解即可．
【详解】解：数字“20210210202”中，共有4个“0”，
∴数字“0”出现的频数为4，
故选：D．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同角的补角相等B. 相等的两个角是对顶角
C. 如果，那么D. 三角形的外角等于两个内角的和
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了命题真假判定、补角、对顶角、平方根以及三角形外角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据补角的定义、对顶角的定义和性质、平方根的性质、三角形外角的性质等知识，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 同角的补角相等，该命题是真命题，本选项符合题意；
B. 相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C. 如果，那么或，原命题是假命题，本选项不符合题意；
D. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
5. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A. 带①②去B. 带②③去C. 带③④去D. 带②④去
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可知，该玻璃为三角形，可以根据这4块玻璃中的条件，结合全等三角形判定定理解答此题．
【详解】A选项带①②去，符合三角形ASA判定，选项A符合题意；
B选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项B不符合题意；
C选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项C不符合题意；
D选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法的灵活运用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，包括：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
6. 如图，在△ABC中，∠CAB＝66°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（ ）
A. 70°B. 50°C. 40°D. 48°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=66°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×66°=48°，
∴∠CAC′=∠BAB′=48°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7. 如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为cm2，直角三角形中较长的直角边长12cm，则直角三角形的面积是（ ）
A. 16cm2B. 25 cm2C. 30 cm2D. 169 cm2
【答案】C
【解析】
【分析】两个阴影正方形的面积和等于图中白色正方形的面积，求出正方形的边长，运用三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵阴影部分的面积为cm2，
∴白色正方形的面积cm2，
∴白色正方形的边长＝，
∴直角三角形的面积是cm2，
故选：C．
【点睛】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，推知“两个阴影正方形的面积和等于图中白色正方形的面积”是解题的关键．
8. 在中，，，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使，下列作法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，掌握垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到两端距离相等”，根据得出点D在的垂直平分线上．
【详解】解：A、由作图可知，，不能得到，故A不符合题意；
B、由作图可知，平分，不能得到，故B不符合题意；
C、由作图可知，，不能得到，故C不符合题意；
D、由作图可知，该直线为垂直平分线，则，故D符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分）
9. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
10. 计算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解．
【详解】解：
；
故答案：．
11. 若代数式是关于的完全平方式，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式，先确定两平方项为和，再根据一次项为，据此可得答案．
【详解】解：∵代数式是关于的完全平方式，
∴，
∴，
故答案：．
12. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，分为顶角与底角两类讨论即可得到答案；
【详解】解：当为底角时，
顶角为：，
当为顶角时，
底角为：，
故答案为：或．
13. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是__________________．
【答案】直角三角形
【解析】
【详解】由题意得：a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
故答案为直角三角形
14. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以，②当是等边三角形时才成立；③根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
【详解】解：，
，
平分，平分，
，，
，
，故①正确；
∵只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，故②错误；
，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确，故③正确；
如图，在上截取，
平分，
，
，
．
，
，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平方根和立方根，单项式乘多项式．
（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）先化简，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
16. 因式分解
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查多项式的因式分解：
（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式2后，运用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式，根据完全平方公式与平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
当，时，
原式
18. 如图，点，在上，，，，求证：．
【答案】见解析；
【解析】
【分析】利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．

【答案】这块土地的面积为36平方米．
【解析】
【分析】连接，由勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
则，
因此是直角三角形，，
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图．
（1）在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3．
（2）在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形．
（3）在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5．
【答案】（1）见详解 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了格点作图，熟练掌握三角形面积公式、勾股定理、等腰三角形的定义是解题关键．
（1）取格点，连接，结合，可知该三角形为等腰三角形，且，即可获得答案；
（2）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，即可获得答案；
（3）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，且，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如下图，即为所求；
【小问2详解】
如下图，即为所求；
【小问3详解】
如下图，即为所求．
21. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析
（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94，
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中，，的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各有400人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由见解析
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数约为260人
【解析】
【分析】本题主要考查了读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断并解决问题．
（1）根据中位数、众数的定义和扇形统计图即可得出答案；
（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级即可得出结论；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
【小问1详解】
解：；
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；
是出现次数最多的数（共出现了3次），
；
【小问2详解】
解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下（写出其中一条即可）：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99；
【小问3详解】
解：∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，
∴（人），
∴（人），
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数约为260人．
22. 图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是________（填、或）．
（2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
【答案】（1）
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形可知空白部分的面积为：大正方形的面积-4个小长方形面积，计算即可；
（2）由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，即可解答；
（3）由（2）可得：，计算即可．
【小问1详解】
解：由图形可知：空白部分的面积．
故答案为：；
小问2详解】
解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
【感知】
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
【探究】
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【解析】
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；
（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；
【详解】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
24. 如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①斜边上的高为______
②当时，的长为______
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】（1）①；②
（2）出发秒后能形成等腰三角形；
（3）当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高；
②可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
（2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【小问1详解】
解：①在中，由勾股定理可得，
∴斜边上的高为；
②当时，则，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即的长为，
故答案为：①；②；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，即，
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
【小问3详解】
解：在中，，
当点Q在上时，，，
∵为等腰三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，如图，过B作于E，
则，
由（1）知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②当时，则，解得；
③当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
综上可知当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
众数
100
方差
52
50.4