精品解析：吉林省长春市南关区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题+答案

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据，进行化简求值，即可作答．
【详解】解：，
故选：B
2. 要反映长春市某一周每天的最低气温的变化趋势，应采用（ ）
A. 条形统计图B. 扇形统计图
C. 折线统计图D. 频数分布统计图
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；由此即可解答．本题考查了折线统计图的特点，熟知折线统计图表示的是事物的变化情况是解决问题的关键．
【详解】解：根据统计图的特点，要反映长春市某一周每天的最低气温的变化趋势，应采用折线统计图，
故选C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，平方差公式，单项式乘单项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
4. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A. 三角形中有一个内角小于或等于60°B. 三角形中有两个内角小于或等于60°
C. 三角形中有三个内角小于或等于60°D. 三角形中没有一个内角小于或等于60°
【答案】D
【解析】
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，
即假设三角形中没有一个内角小于或等于60°．
故选D.
【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
5. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由尺规作图可知AD∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
6. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. 12C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分面积为，
故选：A．
7. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A. 205B. 250C. 502D. 520
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造“好数”是8的倍数，据此解答即可．
【详解】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
【点睛】本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．
8. 如图，已知中，，，过的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，点到直线的距离，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作于点，过点作于点，根据点到直线的距离，得到，，证明，得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算，直接利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算将原式变形为，代入数值进行计算即可，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
11. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，因为，
所以不能组成三角形，
故答案为：12
12. 如图，已知在中，分别平分和于点，且的面积是______．
【答案】42
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，再根据列式计算即可．
【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F，
∵分别平分和，
∴，
∴
，
故答案为：42．
13. 如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是______m．
【答案】
【解析】
【分析】将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短解答
【详解】解：由题意得，将木块表面展开，相当于是AB+2个正方形的宽，
即长为6+2×1=8m，宽为4m，
最短路径：
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，的内角和外角的平分线相交于点E，交于点F，过点E作交于点G，交于点H，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质即可得到结论；②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，；③由，结合线段的代换．即可得到结论；④由于是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点到、、的距离相等，从而得出为外角平分线，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可得出结论．
【详解】解：①平分，
，
平分，
，
，，
，
，故①正确；
②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误．
③平分，
，
，
，
，
，
同理，
，故③正确．
④过点作于，于，于，如图，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
设，，，如图，
则，，
，
，
，
在中，，在中，，
∴
∴，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，具有一定难度．判断出是外角平分线是关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
16. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，利用整体代入法是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，化简得到，则有，，再整体代入求值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
∴代数式的值为2．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；0
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
18. 如图，中，，，，垂足为D，是边的垂直平分线，交于E，交于点F．
（1）求的度数．
（2）若，则的面积为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可．
（2）先根据度所对的直角边是斜边的一半，得出，运用勾股定理列式计算，得，最后根据面积公式列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，勾股定理，度所对的直角边是斜边的一半，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19. 图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结AC、BC，使AC=AB，∠BAC=90°；
（2）在图②中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB=90°；
（3）在图③中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB≠90°．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可；
（2）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可；
（3）根据BC=5，AC==5，作出图形即可．
【小问1详解】
解：如图①中，点C即为所求；
∵，∠AEB=∠CFA=90°，BE=AF=3，
∴△AEB≌△CFA，
∴AB=AC，∠EAB=∠FCA，
∵∠FCA+∠FAC=90°，
∴∠EAB +∠FAC=90°，
∴∠BAC=90°；
【小问2详解】
解：如图②中，点C即为所求；
同（1）可证明；
小问3详解】
解：如图③中，点C即为所求．
∵BC=5，AC==5，
∴BC= AC，
∵AB==，
∴BC2+ AC2≠AB2，
∴∠ACB≠90°．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图．
八年级学生减压方式条形统计图
八年级学生减压方式扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）计算扇形统计图中表示“B体育活动”的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用“享受美食”的人数除以其占被调查人数的百分比即可得总人数；
（2）用总人数分别减去四类人数可得体育活动人数，进而补全图形；
（3）用样本中“B体育活动”人数占被调查人数的比例乘以即可解题．
【小问1详解】
解：被调查的学生共有（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：选择“体育活动”的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
解：依题意，．
答：“B体育活动”所对应扇形的圆心角的度数为．
21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
22. 如图，在和中，，，点依次在同一直线上，且．

（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）25
【解析】
【分析】（1）由可知；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
，
在中，，
，
∴，
∴的长为25．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
23. （1）用等号或“”、“”填空，探究规律并解决问题：比较与的大小．
①当，时， ；
②当，时， ；
③当，时， ．
（2）通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2保持不变，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；③；（2），见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）通过计算，即可求解；
（2）根据完全平方根式进行转化，即可求解；
（3）由的面积为2保持不变，得到，根据，进行求解．
【详解】（1）①当，时，，，
∴当，时，；
②当，时，，
∴当，时，；
③当，时，，
∴当，时，；
（2）猜想：．理由如下：
∵，
∴，
∴．
（3）
∵的面积为2保持不变；
∴
∴
故的最小值为8
【点睛】本题考查数字类规律的探索，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法．
24. 如图，在中，，，，平分，交边于点D，点E是边的中点，点P为边上的一个动点．
（1） ， （提示：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）；
（2）若是等腰三角形，则的度数为 ；
（3）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（4）若点M在线段上，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1），12
（2）或或
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义即可求得的度数；利用含30度直角三角形的性质即可求得；
（2）分；；三种情况考虑，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解；
（3）当四边形为轴对称图形时，则，由勾股定理求出，则由即可求解；
（4）在上取点F，使，连接；则易得，，当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，由含30度角直角三角形性质求出的各边长即可解答．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，则；
∵平分，
∴；
∴，
∴；
当时，
则；
当时，则；
综上，的度数为或或；
【小问3详解】
解：∵平分，
∴当四边形为轴对称图形时，则；
由（1）知，，
由勾股定理得：，
∴；
【小问4详解】
解：如图，在上取点F，使，连接；
∵，
∴，
∴，
∴，
当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，从而的值最小，
∵，
∴；
∵点E是的中点，，
∴，
∴，
∴．
∴的值最小值为.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，最短路径等知识，涉及的知识点较多，熟练应用是解题的关键．