数学七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程同步达标检测题

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题型一、数轴上的行程问题之相遇问题
1.如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 ；
（3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇．
【答案】（1）
（2）2
（3）8
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴的应用和一元一次方程的应用——行程问题，
（1）由的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；
（2）利用1秒后点P表示的数点A表示的数点P运动的速度运动时间，即可求出结论；
（3）设当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，由点P与点Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：点A表示的数为4，点是数轴上在点A左侧的一点，且A、两点间的距离为8，
点B表示的数为，
故答案为：；
（2）动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
运动1秒时，点运动了个单位长度，
此时点表示的数为，
故答案为：2
（3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇，
此时点P表示的数为，点Q表示的数为，
由题意得，
解得：，
当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇，
故答案为：8．
2.如图，点A和B在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点A，B同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．
(1)求点A，B之间的距离．
(2)①经过______秒，甲、乙两人第一次相遇．
②经过______秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)
(2)①6；②18；
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的实际应用，正确根据数轴上两点的距离计算公式列出方程求解是解题的关键．
（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到答案；
（2）①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇，根据第一次相遇时，甲乙所走的路程之和为点A和点B之间的距离列出方程求解即可；②先根据题意推出第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动，设运动时间为m，根据第二次相遇时甲乙表示的数相同得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点A，B之间的距离为；
（2）解；①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇，
由题意得，，
解得，
∴经过6秒，甲、乙两人第一次相遇；
②∵甲第一次返回A时需要的时间为，乙第一次到达A的时间为，乙第一次返回B的时间为，
∴第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动，
设运动时间为m，
由题意得，，
解得，
∴此时相遇点表示的数为，
故答案为：18；．
题型二、数轴上的行程问题之相距问题
3.已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20．
(1)请写出__________；
(2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数；
(3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．
【答案】(1)
(2)8
(3)或或或1．
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出答案；
（2）设运动时间为t秒，先表示出点P、Q表示的数，再列方程解答；
（3）题干未指明运动方向，需要分不同情况讨论，表示出点P、Q的表达式，再列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：∵A 点对应的数为，B点对应的数为20．
∴AB 两点间的距离为，
故答案为：；
（2）设运动时间为t秒，
点Q表示的数是，点P表示的数是，
∴，
解得，
∴点C表示的数是；
（3）设运动t秒，
①若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
②若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
③若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
④若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
综上所述：或或或1．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，列一元一次方程解动点问题，数轴上动点问题，正确理解动点问题是解题的关键．
4.如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)数轴上点B表示的数是_________．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
【答案】(1)
(2)①秒；②或秒
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可；
（2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是，
故答案为：；
（2）①解：设的运动时间为，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵点P与点Q相遇，
∴，
解得，，
∴点P运动秒时，点P与点Q相遇；
②解：由题意知，，
∴或，
解得，或；
∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度．
题型三、数轴上的行程问题之三点中点问题
5.如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．

(1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
(2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．
(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
【知识点】线段中点的有关计算、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题．
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题．
（3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒，
当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：，
点D向左运动的速度为：个单位/秒，
当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为，
设C点的运动秒后，两点相遇，
根据题意有：，
解得：，
C点运动的距离为，
两点相遇时的位置所表示的数为：；
（3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，
下面分情况讨论：
①点P向右运动，
有，，，
点F为线段的中点，
，
，
，整理得，解得，
即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒；
②点P向左运动，
有，
，
，整理得，解得（不合题意，舍去），
综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
6.已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒
(1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇；
(2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位．
(3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【答案】(1)
(2)2或5
(3)秒或秒或秒
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：
（1）先求出点A和点C的距离，再求出运动时间，进而求出相遇的点表示的数即可；
（2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，根据题意分析出甲应在或之间，再分别表示出甲到三点的距离，进而建立方程求解即可；
（3）先求出甲的新速度变为12个单位/秒，设运动时间为x秒，再分①当原点是与两点的中点时，②当是甲与原点两点的中点时，③当是与原点两点的中点时，三种情况根据数轴上两点中点计算公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：秒，
，
∴甲、乙在数轴上表示有理数的点相遇，
故答案为：；
（2）解：设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，
∵点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为，
∴甲应在或之间．
①当甲在之间时，则
解得；
②当甲在之间时：，
解得；
综上所述，2秒或5秒后，甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位；
故答案为：2或5；
（3）∵甲的速度变为原来的3倍，
∴甲的新速度变为12个单位/秒，
设运动时间为x秒
①当原点是与两点的中点时，
依题意得：，
解得，
②当是与原点两点的中点时，
依题意得：，
解得；
③当是与原点两点的中点时，
则依题意得：，
解得，
综上所述，秒或秒或秒后，原点、与三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
题型四、数轴上的行程问题之新定义型问题
7.【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”．
（1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．

【答案】（1）是；
（2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0．
（3），，，，，
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”；
（2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可．
（3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可．
【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”．
故答案为：是．
（2）设C点表示的数为x，
①若C为中点，即，
则，
解得．
②若，
则，
解得，
③若，
则，
解得．
综上，C点表示的数为10或20或0．
（3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．
P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即时，
，
解得．
③，
，
解得，
P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即，
，
解得．
③，
，
解得．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键．
8.定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．

(1)①求的美好点表示的数为______．
②求的美好点表示的数为______．
(2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】（1）根据定义，构建方程求解；
（2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解；
【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知，
解得，
∴的美好点表示的数为；
②令美好点表示的数为y，由题知，,
解得，
∴的美好点表示的数为；
（2）解：根据题意，得
∴
解得
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离表示；根据定义构建方程是解题的关键．
题型五、数轴上的行程问题之折线数轴问题
9.已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20．
(1)求、、的值．
(2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少；
(3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等．
【答案】(1)；；
(2)
(3)4，7，10，16
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案；
（2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案；
（3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
解得，
、在数轴上对应的数分别是、，如图所示：
，
解得；
（2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则
，解得，
相遇点所对应的数是；
（3）解：由（1）知；；，
，，
动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，
走完用时为秒，走完用时秒；
动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，
走完用时为秒，走完用时秒；
当不在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当在线段上时，如图所示：
当在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当在线段上、在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等．
【点睛】本题考查数轴综合问题，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法、非负式和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题等知识，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键．
10.如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问：
(1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ；
(2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等．
【答案】(1)10，4
(2)
(3)4，，10
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答；
（2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可；
（3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解．
【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒，
，，
动点从点运动至点需要的时间为（秒，
动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒，
动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，
（秒，
，
．
此时点对应的点是4；
故答案为：10，4；
（2）由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段，
动点由点经过点到点点用时为（秒，
动点从点到点用时为（秒，
6秒到秒动点的路程，
相遇的时间（秒，
点的路程，
点所对应的数；
（3）①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；
②当点在段时，点在段，
若，则，，
，
解得：；
③当点在段时，点在段，
若，则，，
，
解得：（舍去）；
④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；
⑤当点在段，点在段，
若，则，，
，
解得：；
⑥当点在段，点在段，
若，则，，
，
解得：．
综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等．
一、填空题
1．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度．
【答案】或
【分析】本题考查数轴上的动点问题，根据题意分情况建立含有t的一元一次方程是解决本题的关键．已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可．
【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为15个单位长度，分析N点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：
当N向左运动，则有，解得，
当N向右运动，则有，解得，
故答案为或．
2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ．
【答案】或
【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，，
∴A点对应的数为，B点对应的数是5，
经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，，
①当时， ，
，
当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化；
②当时，，
，
当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化；
综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化．
故答案为：或．
【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．
3．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位；
（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等．
【答案】 5 或
【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程的实际应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．
（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出求出即可；
（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出或，进而求出即可．
【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为：，
解方程，得．
故答案为：5．
（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．
或，
或
或，
故答案为：或．
二、解答题
4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)数轴上点B表示的数是_________．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
【答案】(1)
(2)①秒；②或秒
【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可；
（2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是，
故答案为：；
（2）①解：设的运动时间为，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵点P与点Q相遇，
∴，
解得，，
∴点P运动秒时，点P与点Q相遇；
②解：由题意知，，
∴或，
解得，或；
∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度．
5．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：
当点运动多少秒时，点与点相遇？
当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？
【答案】(1)，；
(2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度
【分析】本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解．
（1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点；
（2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案；
②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案.
【详解】（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，
，
则，
数轴上点表示的数为；
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动
点运动秒的长度为，
点所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）①设点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动秒时，点与点相遇；
②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，
当点未超过点，则，解得；
当点超过点，则，解得；
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度．
6．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．P，Q，M是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度．
(1)点P，Q分别从点A，B同时出发，都向正方向运动．
①运动t秒后，点P表示的数为__________，点Q表示的数为__________（用含t的代数式表示）；
②当P，Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值．
(2)点P，Q，M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动．点M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，……，当点P，M，Q重合时，运动停止．在运动过程中，这三个点的速度保持不变，点P，Q的运动方向保持不变．
①当运动停止时，直接写出点P表示的数；
②在整个过程中，点M运动的路程为__________个单位长度．
【答案】(1)①，；②11或17
(2)①，②
【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）①结合题意利用代数式表示即可；
②根据P，Q两点相距3个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题；
（2）①根据题意表示出点P与点Q表示的数，结合当点P，M，Q重合时，运动停止，建立方程求解，即可解题；
②根据路程时间速度求解，即可解题．
【详解】（1）解：①因为数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．
所以运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，
故答案为：，．
②因为P，Q两点相距3个单位长度，
所以或，
解得或；
（2）解：①因为当点P，M，Q重合时，运动停止．
且点P表示的数为，点Q表示的数为，
所以，
解得；
②因为点M的速度是每秒5个单位长度，
所以在整个过程中，点M运动的路程为个单位长度．
故答案为：．
7．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）．

(1)直接写出的值；
(2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值；
(3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等．
【答案】(1)，
(2)的值为或
(3)运动的时间为秒或秒或秒或秒．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可．
（3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
（2）解：∵，，点P对应的数为，
根据题意可得，
∵，
∴，
解得：或
∴的值为或．
（3）解：由上可知，，
当点在，点在上运动时，，，
∴当时，即，
解得：；
当在上，在上运动时，，
∴当时，即，
解得：；
当点、两点都在上运动时，，，
∴当时，即
解得：；
当在上，在上运动时，，
∴当时，即，
解得：；
综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒．
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法．
8．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则．
根据以上知识解决下列问题：
如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示）
(2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．
①若点，两点到原点的距离相等，求的值；
②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或
【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与行程问题的数量关系的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键．
（1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法，数轴上动点表示有理数的计算即可求解；
（2）①分别用含的式子标出点到原点的距离，再根据距离公式及数量关系列式求解即可；②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，根据题意分类讨论：如图所示，点在店左边；点在店右边；由此列式求解即可．
【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，
∴，
∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴点表示的数为：，
∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：，
∵点，两点到原点的距离相等，
∴，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，；
综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等；
②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，
如图所示，点在店左边，
∴，，
∴
，
∵的值不随的变化而变化，
∴；
如图所示，点在店右边，
∴，，
∴
，
∵的值不随的变化而变化，
∴；
综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或．
9．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”．
（1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．

【答案】（1）是；
（2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0．
（3），，，，，
【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”；
（2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可．
（3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可．
【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”．
故答案为：是．
（2）设C点表示的数为x，
①若C为中点，即，
则，
解得．
②若，
则，
解得，
③若，
则，
解得．
综上，C点表示的数为10或20或0．
（3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．
P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即时，
，
解得．
③，
，
解得，
P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即，
，
解得．
③，
，
解得．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键．
10．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上两点对应的数分别为．
(1)两点间的距离为 ；
(2)如图，如果点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒．
Ⅰ．运动秒时对应的数为 ，对应的数为 ；（用含的代数式表示）
Ⅱ．当两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ；
Ⅲ．求相距个单位长度时的值；
(3)如图，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当两点相遇时，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)；
(2)Ⅰ．，；Ⅱ．；Ⅲ．或；
(3)单位长度秒或单位长度秒．
【分析】（）根据数轴上两点间距离公式直接计算即可求解；
（）Ⅰ．根据数轴上两点间距离公式计算即可求解；
Ⅱ．根据题意列出方程，解方程即可求解；
Ⅲ．分点在点左边和右边两种情况，列出方程，解方程即可求解；
（）分两种情况列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵对应的数分别为，
∴两点间的距离为，
故答案为：；
（2）解：Ⅰ．由题意可得，运动秒时对应的数为，对应的数为，
故答案为：，；
Ⅱ．当两点相遇时，，
解得，
∴点在数轴上对应的数是，
故答案为：；
Ⅲ．当点在点左边时，，
解得；
当点在点右边时，，
解得；
∴相距个单位长度时，的值为或；
（3）解：当两点在点相遇时，运动时间为秒，
此时点的运动速度为单位长度秒；
当两点在点相遇时，运动时间为秒，
此时点的运动速度为单位长度秒；
∴当两点相遇时，点的运动速度为单位长度秒或单位长度秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
11．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．

(1)①求的美好点表示的数为______．
②求的美好点表示的数为______．
(2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据定义，构建方程求解；
（2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解；
【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知，
解得，
∴的美好点表示的数为；
②令美好点表示的数为y，由题知，,
解得，
∴的美好点表示的数为；
（2）解：根据题意，得
∴
解得
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离表示；根据定义构建方程是解题的关键．
12．（24-25七年级上·福建泉州·期中）先阅读材料：如图（1），在数轴上点示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．
解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6．
(1)________，________：
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
①则点表示的数是________，________（用含的式子表示）
②请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
(3)若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？
【答案】(1)，
(2)①，．②不变，值为
(3)在秒或秒后、两点相距2个单位长度．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）①根据题意表示出点、，所表示的数，即可得出结论；
②先求出，然后代入化简即可得出结论；
（3）求出点A的路程为，点C的路程为，然后分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度列方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：①由题意可知：点表示的数是：，点表示的数是：，点表示的数是：，
∴．
故答案为，．
②由①可知，，
∴，
∴的值不随着时间的变化而改变，其定值为，
（3）解：由题意可知，点A的路程为，点C的路程为，的距离为，
∴可分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，
两种情况的方程分别为：，
解得和，
∴在秒或秒后、两点相距2个单位长度．目录
A题型建模・专项突破
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc28446" 题型一、数轴上的行程问题之相遇问题 PAGEREF _Tc28446 \h 1
\l "_Tc26585" 题型二、数轴上的行程问题之相距问题 PAGEREF _Tc26585 \h 3
\l "_Tc18036" 题型三、数轴上的行程问题之三点中点问题 PAGEREF _Tc18036 \h 5
\l "_Tc50" 题型四、数轴上的行程问题之新定义型问题 PAGEREF _Tc50 \h 8
\l "_Tc636" 题型五、数轴上的行程问题之折线数轴问题 PAGEREF _Tc636 \h 11
B综合攻坚・能力跃升
时间（秒）
0
1
2
C点在数轴上的位置所表示的数
_____
D点在数轴上的位置所表示的数
_____
3
2