重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析

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这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，使为真命题的一个充分条件是，已知，则下列不等式正确的是，若，则的最小值是，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一．单项选择题: 本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合要求.
1. 在德国数学家格奥尔格康托尔之前，数学中并没有一个系统的 “集合” 概念. 康托尔是第一个将 “集
合”作为数学的基本研究对象的人. 某同学准备作一个重庆一中教共体高 2028 届新生对高中数学第一章
《集合与常用逻辑用语》预习情况的调查，收集预习占比，预习程度等方面的数据，在这个调查研究中，
请运用你所学的知识进行判断，下面关于全集的说法最合适的是（）
A. 应把重庆一中教共体中喜欢数学的同学组成的集合作为全集
B. 应把重庆一中教共体中知道全集意义的学生组成的集合作为全集
C. 应把重庆一中教共体高 2028 届新生组成的集合作为全集
D. 应把重庆一中教共体高 2028 届预习过第一章的新生组成的集合作为全集
【答案】C
【解析】
【分析】根据全集的概念即可解题.
【详解】全集是指研究某个问题时，所涉及的所有对象组成的集合，本题中的研究对象是重庆一中教共体
高 2028 届所有新生.
故选：C
2. 下列选项中，是的函数的是（）
A.
B.
C.
D.
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1 2 1 3
1 2 3 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的定义逐项判断即可.
【详解】对于 A，由，可得，对于任意一个，
都有唯一确定的值与之相对应，所以是的函数，故 A 正确；
由，可得，当时，，
所以时，与之对应的的值不唯一，所以不是的函数，故 B 错误；
对于 C，由，方程组无解，所以，不是非空的数集，
故不是的函数，故 C 错误；
对于 D，当时，的值可能为 1，也可能为 3，
所以时，与之对应的的值不唯一，所以不是的函数，故 D 错误.
故选：A.
3. 已知函数，则（）
A. 64 B. 32 C. 8 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，将自变量代入求值即可.
【详解】由解析式知，
则 .
故选：D
4. 命题 “若，则 ” 的否定是（）
A. 若，则 B. C. 若，则 D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据命题的否定即可得出结论
【详解】由命题的否定的定义可知“若，则 ” 的否定是若，则 .
故选：A
5. 使为真命题的一个充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题为真有求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即
可.
【详解】要使为真命题，则只需，可得，
结合各项知，只有 A 中是该命题为真的一个充分条件.
故选：A
6. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的值不可能是（）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先利用分段函数求出的最小值，进而转化为，解不等式即
可.
【详解】令，
当时，；
当时，；
当时，，
故，
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因不等式对恒成立，
则，即，得，
故不符合题意的选项有 D.
故选：D
7. 已知，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】举反例判断 A；作差法判断 B；根据不等式性质判断 CD.
【详解】对于 A，取，，，，显然满足，
但，故 A 错误；
对于 D，因为即，得到，
所以，又，得到，故 D 错误
对于 B，，由，可得，
又，所以，，
所以，所以，故 B 正确；
对于 C，由，，可得，所以，故 C 错误.
故选：B
8. 若，则的最小值是（）
A 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】令，则利用基本不等式得，再利用基本不等式求解最值，
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注意验证等号能同时成立.
【详解】，令，
则，
当且仅当即时等号成立，
又，当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，取到最小值为．
故选：C
二、多项选择题:本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合，则（）
A. 若，则实数的取值范围是
B. 若，则实数的取值范围是
C. 若，则实数的取值范围是
D. 若，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 解即可；B 根据列不等式组；C 根据，再分类讨论即可；D 假设
可得，再根据以及即可求出.
【详解】若，则，得，故 A 正确；
若，则，则，得，故 B 正确；
若，则，
若为空集，则，得；
若不为空集，则，，，得，
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综上，，故 C 正确；
若，则，，且，由 C 选项可知，，
假设，则，得，故，
综上，，故 D 错误；
故选：ABC
10. 已知函数，且，则下列说法正确的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若集合，则中所有元素的和为或
D. 有最小值
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件得，对称轴为，利用二次函数的性质，结合选项条件，
即可判断 A 和 B 的正误，对 C，将问题转化成两函数图象交点，从而可得，且时，中所
有元素的和为，即可求解；对 D，根据条件得，利用二次函数的性质，即可求
解.
【详解】因为，则，所以，对称轴为，
对于选项 A，若，又，所以，
又，所以，故 A 正确，
对于选项 B，若，则，又，所以，故 B 错误，
对于选项 C，因为关于直线对称，
又的图象可由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以的图象关于直线对称，且图象开口向上，最低点为，
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又，所以当，且时，
与只有一个交点，
此时，中所有元素的和为，故 C 错误，
对于选项 D，因为
，
当且仅当时取等号，所以 D 正确，
故选：AD.
11. 已知全集是实数集为有理数集，为整数集，定义的子集的特征函数
下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 存在数集
D. 对任意数集
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，分时和但时两种情况计算特征函数值即可得解判断 A；直接
计算即可分析判断 B；分析计算当时的情况即可判断 C；对任意数集，分和
时两种情况计算即可判断 D.
【详解】对于 A，，当时，，满足；
当但时，，不满足，故 A 错误；
对于 B，因为，所以，故 B 正确；
对于 C，当时，若；，满足；
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若；，满足；
若，，满足；
所以存在数集满足，故 C 正确；
对于 D，对任意数集，时，，
满足；
时或，则，满足；故 D 正
确.
故选：BCD
三、填空题: 本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合，若，则实数的值是_____.
【答案】或
【解析】
【分析】根据集合间的关系得或，求出值，再进行检验，即可求解.
【详解】因为集合，且，
则或，若，即，此时，满足题意，
若，即或时，时，，满足题意，
时，，不满足集合的互异性，所以不合题意，
综上所述，或，
故答案为：或 .
13. 已知定义在上的函数满足：① ； ②对
，则 _____.
【答案】
【解析】
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分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可
求解.
【详解】令，
可得：，又，
所以，
令，得，
所以，，
由，
令，
则，
两式相加可得：
所以，
当时，满足；
所以，
故答案为：
14. 若关于的方程有两个不相等的正实根，则的最小
值是_____.
【答案】8
【解析】
【分析】先由题设中方程有两个不等正根结合韦达定理和判别式列出不等式组求出参数 a 取值范围，再结
合韦达定理、基本不等式和配凑法计算即可.
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【详解】由题意可得，
所以，
所以
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值是 8.
故答案为：8
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的值域为集合，函数的定义域为
集合 .
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合和集合，根据交集的运算求解即可；
（2）根据，，结合，列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
第 10页/共 17页
函数的值域为，所以，
，令，所以或，
所以，因为，解得，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知，，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为 .
16. （1）求不等式的解集;
（2）若，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解；
（2）化简不等式为，分和，两种情况讨论，结合分式不等式的解法，即可求
解.
【详解】（1）由不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为或 .
（2）由不等式，即为，
当时，不等式为，解得，不等式的解集为；
第 11页/共 17页
当时，不等式可化为，即，
①当时，即时，解得或，
所以不等式的解集为或；
②当时，即时，不等式可化为且，解得且，
所以不等式的解集为且；
③当时，即时，解得或，
所以不等式的解集为或，
综上可得，当时，不等式解集为；
当，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或，
17. 已知二次函数（为实数） .
（1）若的解集为(1，3)，求不等式的解集；
（2）若且对任意，求的最小值；
（3）若时，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.
（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
（3）取得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解.
第 12页/共 17页
【小问 1 详解】
依题意知，，且方程的两根为 1，3，
由根与系数间的关系得，则．
故不等式，所以，
解得：或，即原不等式的解集为．
【小问 2 详解】
因为时，恒成立，
故得，那，即，
所以（当且仅当时等号成立）
【小问 3 详解】
令，所以，且，所以
所以，因为，
因此
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
18. 已知函数 .
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对恒成立.
（I）求实数的取值；
（II）若在上有解，求实数的取值范围.
第 13页/共 17页
【答案】（1）
（2）（I）（II）
【解析】
【分析】（1）先代入化简结合绝对值不等式得出，再应用一元二次不等式解法求解；
（2）（I）根据，恒成立，分类讨论并应用判别式计
算范围；
（II）因为在(0,2)上有解，再分或求实数的取值范围.
【小问 1 详解】
因为，化简为，所以，所以
，所以，
所以，所以，所以，所以的解集为；
【小问 2 详解】
（I），
所以，恒成立，
当时，不能恒成立；
所以，即得，所以；
当时，不能恒成立；
所以，即，得；
所以；
（II）因为且，所以，所以，
所以，所以或，
第 14页/共 17页
当时，即，且在有解，
所以在有解，
，所以二次函数开口向上，对称轴为，
在单调递减，在单调递增，所以取最小值，
时，时，所以；
当时，即或，且在有解，
所以当在有解，所以；
所以实数的取值范围为 .
19. 由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵. 矩阵是高等代数中的常见工
具，在物理学、计算机科学中都有广泛的应用 . 现有矩阵，其中
.设 . 定义变
换 : “对于矩阵的每一行的数，若其中有或，则将这一行中每个数变为其相反数
; 否则这一行中所有数均保持不变”. 表示对用变换得到，再对用变换得到，以
此类推，最后得到 . 记矩阵中四个数的和为 .
（1）若，写出经过变换后得到的矩阵，并求的值；
（2）若，求的所有可能取值的和；
（3）对任意矩阵，证明: 的所有可能取值的和不超过 0 .
【答案】（1），；
（2）的所有可能取值的和为；（3）证明见解析.
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【解析】
【分析】（1）根据变换定义直接依次求出，再由的定义即可求解；
（2）根据矩阵中的数可将分成和两组数据，则 S 的 3 个数据从这两组数据中取出，
故可分成“取第一组数据 3 个”、“取第二组数据 3 个”、“取第一组数据 1 个和第二组数据 2 个”、“取第
一组数据 2 个和第二组数据 1 个”这几种情况一一分析求解即可；
（3）考虑或两种情况下，在集合的所有非空子集中考虑是否含有 a、b 时子集个
数和经过变换后第一行的数，接着求出所以经过变换后所有的第一行元素之和，同理计算经过变换后所
有的第二行的所有数的和即可求解.
小问 1 详解】
因为，
所以经过变换后得到的矩阵为，
所以经过变换后得到的矩阵为，
所以；
【小问 2 详解】
若，则，从而；
若，则，从而；
若 S 中只含 1，不含 0，3，则有 3 种情况，此时，从而；
若 S 中只含 3，不含 0，1，则有 3 种情况，此时，从而；
若 S 中只含 0，不含 1，3，则有 3 种情况，此时，从而；
若 S 中只含 0，1，不含 3，则有 3 种情况，此时，从而；
第 16页/共 17页
若 S 中只含 1，3，不含 0，则有 3 种情况，此时，从而；
若 S 中只含 0，3，不含 1，则有 3 种情况，此时，从而 .
综上所述，所有可能取值的和为 .
【小问 3 详解】
若，则在集合的所有非空子集中，
含有 a 且不含 b 的子集共个，经过变换后第一行均变为；
含有 b 且不含 a 的子集共个，经过变换后第一行均变为；
同时含有 a 和 b 的子集共个，经过变换后第一行仍为 a，b；
不含 a 也不含 b 的子集共个，经过变换后第一行仍为 a，b；
所以经过变换后所有的第一行元素之和为
，
若，则在的所有非空子集中，
含有 a 的子集共个，经过变换后第一行均变为；
不含有 a 的子集共个，经过变换后第一行仍为 a，b；
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 .
同理经过变换后所有的第二行的所有数的和为，
所以的所有可能取值的和为，
又因为，所以的所有可能取值的和不超过 0