重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (1)，共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 若集合 ，则“ ”是“ ”的， 已知 ，则下列结论成立的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3.考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定定义写出.
【详解】由存在量词命题的否定可知，
“ ”的否定是
故选：A
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得 ，再代入即可求解.
【详解】因为函数 ，
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所以可得 ，
则 ，
故选：B
3. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集补集运算即可求解.
【详解】由条件可得 ，
则 ，
故选：B
4. 已知 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合不等式性质举出反例可得 A、B、D 错误，借助不等式的同向可加性可得 C.
【详解】对 A：若 ，则 ，故 A 错误；
对 B：若 ，则 ，故 B 错误；
对 C：由 ，则有 ， ，则 ，故 C 正确；
对 D：若 ，则有 ， ，
则 ，即 ，故 D 错误.
故选：C.
5. 若集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 时，得 或 ，即可判断.
【详解】当 时， ，得 ，
当 时，可得 ， 或 ，
故“ ”是“ ”的充分且不必要条件，
故选：A
6. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助定义域的性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：D.
7. 集合 ，则能使 成立的实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 可得 ，解出分式不等式后，分 及 两种情况讨论即可得.
【详解】由 ，可得 ，解得 ，故 ，
由 ，则 ，
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当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
故能使 成立的实数 的取值范围是 .
故选：C.
8. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为（
）
A. －2 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据韦达定理求解 ，进而利用基本不等式即可求解.
【详解】由于 的解集为 ，故 是一元二次方程 的两
个实数根，故 且 ，故 ，
则 ，
由于 同号，当 ， 均为正数，则 ，当且仅当
时取等号，故 ，
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.
B.
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C
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的解析式和定义域逐个判断即可.
【详解】对于 A，由 可得 定义域为 ，
由 可得 的定义域为 ，故不是同一函数，错误；
对于 B， ，定义域都是 ，解析式一样，故
是同一函数，正确，
对于 C，由 可得 定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函
数，错误；
对于 D， ，两个函数定义域都是 ，解析式一样，同一函数，正确，
故选：BD
10. 已知 ，则下列结论成立的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为 2
C. 的最小值为 3 D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判断 ABC，利用二次函数知识判断 D.
【详解】对 A， ，当且仅当 时取等号，A 正确；
对 B，结合 A，有 ， 时取等号，B 错；
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对 C， ，当且仅当 即 时取等号，C 正确；
对 D，因为 ，所以 ，
所以 ，D 正确.
故选：ACD.
11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用
表示不超过 的最大整数，则 称为“高斯函数”， 又称为“取整函数”.设
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 对任意整数 ，有
C. 设函数 ，则 的值域为
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合所给新定义逐项判断即可得.
【详解】对 A： ，故 A 错误；
对 B：设 ，则 ，对任意整数 ， ，
则 ，故 B 正确；
对 C：由 ，且 ，则 ，即 ，
故 值域为 ，故 C 正确；
对 D：由 ，则 ，则有 ，
即 ，
又 ，故 ，则 ，即 ，故 ，
即 的解集为 ，故 D 正确.
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故选：BCD.
第 II 卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】直接利用配凑法，求解函数的解析式即可．
【详解】解：函数 ， ，故答案为
【点睛】本题考查函数的解析式的求法，配凑法的应用，考查计算能力．
13. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】由不等式的性质求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，当 时， ，
故答案为：2
14. 已知命题 ，命题 .若命题 为真命题，则实数 的取值范
围是_____；若命题 和 有且仅有一个是真命题，则实数 的取值范围是_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空一：由题意可得 小于等于 的最小值，计算即可得；空二：分别计算出命题 与命题 为
真时的 的取值范围，再分 真 假与 假 真进行讨论即可得.
【详解】若命题 为真命题，则 ，即 ；
若命题 为真命题，则当 时， ，
当 时， ，解得 ，
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又 ，故 ，综上可得 ；
由命题 和 有且仅有一个是真命题，
则当 真 假时， ；
当 假 真时， ；
故命题 和 有且仅有一个是真命题时， .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共 5 题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）集合 ，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由元素与集合的关系计算即可得；
（2）结合交集定义可得 、 ，即可解出 、 ，从而可得集合 、 ，再利用并集定义即可得解
.
小问 1 详解】
由 ，则 ，解得 ；
【小问 2 详解】
由 ，则 ， ，
故 ， ，解得 ， ，
由 ，解得 或 ，故 ，
由 ，解得 或 ，故 ，
故 .
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16. 设集合 ，函数 的定义域为集合 .
（1）求集合 、 .
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ； 或
（2）
【解析】
【分析】（1）解出一元二次不等式可得集合 ，借助定义域的定义解出绝对值不等式可得集合 ；
（2）由题意可得 ，再利用集合间基本关系计算即可得.
小问 1 详解】
，解得 或 ，
则 或 ；
由 可得 ，则 或 ，
故 或 ；
【小问 2 详解】
由题意可得 ，则有 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备
年固定研发成本为 50 万元，每生产一台需另投入 90 元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每
一 万 台 的 销 售 收 入 （ 万 元 ） 与 年 产 量 （ 万 台 ） 满 足 如 下 关 系 式 ：
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润 销售收入－成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）
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（2）当年产量为 万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为 万元
【解析】
【分析】（1）利用利润 销售收入－成本公式计算即可得；
（2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得.
【小问 1 详解】
当 时， ；
当 时， ，
故 ；
【小问 2 详解】
当 时， 是对称轴为 的二次函数，
则 在 上单调递增，
故当 时， 万元；
当 时，
万元，
当且仅当 时等号成立，
故当 时， 万元；
故当年产量为 万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为 万元.
18. 已知函数 .
（1）若不等式 的解集是 ，求 的值；
（2）若 ，讨论不等式 解集；
（3）若对于任意 ， 恒成立，求参数 的取值范围.
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【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用根与系数的关系即可求解，
（2）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解；
（3）利用分离参变量，结合二次函数的单调性求解最值，即可得解.
【小问 1 详解】
由 可得 ，
故 是方程 的两个实数根，
故 且 ，解得 ，故 ，
【小问 2 详解】
若不等式 ，即 ，
①当 时，不等式 ，解得 ，该不等式的解集为 ；
②当 时，因式分解可得 ，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式可变为 ，
由于 ，故 ，此时不等式的解集为 ；
综上所述：当 时，该不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；.
【小问 3 详解】
对于 ， 恒成立，
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化简得 在 上恒成立，
设 ，该函数是开口向上的二次函数，对称轴 ，
所以 在 上单调递增， ，所以 ，
则 的取值范围为
19. 已知集合 为至少含有两个元素的数集.对于集合 中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这
些绝对值重新组成一个新的集合，我们将其定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合 的 1 次自相
加集合”，再进行 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”.若集合 的任
意 次自相加集合都不相等，则称集合 为“完美自相加集合”同理.我们可以定义出“ 的 1 次自相减集
合 ”， 集 合 的 1 次 自 相 加 集 合 和 1 次 自 相 减 集 合 分 别 可 表 示 为 ：
.
（1）已知集合 ，集合 ，判断集合 是否是完美自相加集合，集合
是否是完美自相减集合，只需判断无需证明；
（2）对（1）中的集合 进行 次自相加操作后，求：集合 的 次自相加集合的元素个数；
（3）若 且 ，集合 ， ，求： 的最小值.
【答案】（1） 是完美自相加集合， 不是完美自相减集合
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用自相加的概念与自相减的概念计算即可得；
（2）连续的正整数组成的集合，在自相加后，形成的新集合中的元素必然是连续的正整数，且得到的新集
合的元素的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到新集合的元素的最大值为原来集合的两个
最大元素值之和，所以只需要找到进行 次自相加后集合的元素的最大值和最小值与 的关系，即可得到
集合 的 次自相加集合的计算元素个数；
（3）由第二问的结论，可得 ，因为集合由连续自然数组成，所以其自
相减集合中的最小数是 ，最大数是最大数与最小数的差，即 ，所以
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，然后利用集合计算公式计算参数范围即可.
【小问 1 详解】
是完美自相加集合， 不是完美自相加集合，理由如下：
因为集合 ，所以 ，
由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合 的最小两个元素为 ，
所以 中的最小元素为 ，
同理，2 次自相加后得到的集合中的最小元素是 .
依照这样的规律，对集合 进行任意次自相加操作后，最小值总在变大，
故不可能有相等集合，所以 是完美自相加集合；
因为集合 表示所以奇数构成的集合，
任何两个奇数之差的绝对值都是偶数，
所以 ，为所有偶数构成集合；
所以对 ，再进行一次自相减操作，
任意两个偶数之差的绝对值还是偶数，
故集合“ 的 1 次自相减集合”与“ 的 2 次自相减集合”都为 ，
故 不是完美自相减集合；
【小问 2 详解】
由自相加性质可知，对于集合 ，进行一次自相加，
得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合 进行 1 次自相加之后，
得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第 2 次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第 3 次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
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故进行第 次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，
最大的两个元素为 ；
故集合 的 次自相加集合的元素个数为 个；
【小问 3 详解】
因为 且 ，集合 ，
所以 ， ，
要使 ，须使 ，所以 ，
又因为 ，故 的最小值为 .
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