（人教A版）必修一高一数学上学期第3章 函数的概念与性质 章末重难点归纳总结（2份，原卷版+解析版）

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第3章 函数的概念与性质 章末重难点归纳总结重点一 函数的辨析【例1】若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.【一隅三反】1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B2．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】对A，由得是函数关系；对B，由，得是函数关系；对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；对D，由，得是函数关系，故选：C重难点二 函数的三要素【例2】（1）函数的定义域为（       ）A． B． C． D．（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C【解析】由题意得： 解得，即的定义域为.故选：C.（2）因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.【例2-2】已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵函数的定义域为，且为奇函数，∴，解得,经验证：为奇函数，符合题意，故；（2）∵，∴在上单调递增，且．∵，则，又函数在上单调递增，则在上恒成立，∴在上恒成立，设，令，则，函数在上递减，在上递增，当时， ，当时， ，故，则 ，∴实数的取值范围为．【一隅三反】1．已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.【答案】【解析】因的定义域为，则当时，，即的定义域为，于是中有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：2．若函数的值域是____.【答案】【解析】， ，函数的值域是：.故答案为：3．已知函数，则的值域是_________.【答案】【解析】，，的值域为,故答案为：4．函数 的值域是______________（用区间表示）【答案】【解析】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以，当时，，为单调递减函数，所以，综上：，即的值域为.故答案为：5．已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．重难点三 函数的性质【例3-1】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可知，在区间上单调递减，又为奇函数，则，且，故，设，则，故为偶函数，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，所以的解集为，即的解集为.故选：D.【例3-2】（多选）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（       ）A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数C． D．【答案】AD【解析】因为为偶函数，且函数在上为增函数，所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.故选：AD.【例2-3】已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；【答案】(1)，(2)在上单调递增，证明见解析【解析】(1)是定义在上的奇函数，，解得：；，；经检验：当，时，，则，为奇函数；，.(2)在上单调递增，证明如下：设，；，，，，，是在上单调递增.【一隅三反】1．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当a=0时，函数在R上单调递增，所以在上单调递增，则a＝0符合题意；当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数的性质知， ，解得.综上，实数a的取值范围是,故选:A.2．（多选）关于函数，下列说法正确的是（       ）A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为C．最大值为2 D．没有最小值【答案】ABC【解析】由得，即函数的定义域为，令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.故选：ABC.3．（多选）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（       ）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】解：因为，若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；若，则，此时，符合题意；若，当时在上单调递减，当时，二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，要使函数存在最小值，只需，解得，综上可得.故选：ABC4．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（       ）A． B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD重点四 幂函数【例4】已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（       ）A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为【答案】C【解析】设幂函数，由题意得： ，故，定义域为 ，故D错误；定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；由于 ，故在在单调递减，C正确，故选：C【一隅三反】1．如图所示是函数(且互质)的图象，则（       ）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且【答案】C【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.2．下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A中，函数，由，所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意；对于B中，函数，由，所以函数为偶函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，函数在为单调递减函数，不符合题意.故选：A.3．已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】(1)依题意有：，解得或；又函数为偶函数，则，所以.(2)；由题知：或，所以或.