安徽省蚌埠市高新区第十四中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省蚌埠市高新区第十四中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 下列各式中正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根和立方根的意义和性质，逐项进行化简判断即可
【详解】∵，故A选项错误；
∵，故B选项错误；
∵，故C选项正确；
∵，故D选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，解题关键在于掌握运算法则．
2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
必须同时满足下列条件：
，，，
综上：且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．
3. 把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，正确的是（ ）
A. x2-x-2=0B. x2+5x-2=0C. x2-x-1=0D. x2-2x-1=0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式有：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题，注意一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答
【详解】解：∵关于x一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选D．
【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：A
6. 用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程x2-4x-5=0，
移项得：x2-4x=5，
配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7. 已知关于的方程的一个根是2，则此方程的另一根为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设方程另一个根为，根据根与系数的关系得到，从而得到方程的另一个根．
【详解】解：设方程另一个根为，
∵，，
∴，
解得，
即此方程的另一个根为1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
8. 计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a
＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+
＝．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9. 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染了人，第二轮后则传染了人，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：每轮传染中平均每个人传染了人，根据题意可列出方程，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10. 已知，且，，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2可得出6（）2＋2021＋3＝0，由xy≠1，可得出，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2得6（）2＋2021＋3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−，两根之积”是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 分母有理化： ____________．
【答案】．
【解析】
【分析】分子分母同乘以，再进行整理即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化是解答此题的关键．
12. 若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则___．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得，，
故答案为3
13. 二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法，可得答案．
【详解】解：，
由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．
14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
三、解答题：本题共2小题，共16分．
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算二次根式的除法及乘方，再算加法，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再化为最简二次根式，再合并即可解答．
【小问1详解】
原式，
，
；
【小问2详解】
原式
16. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
，
，
，
，
或，
解得：；
【小问2详解】
，
，
，
，
或，
解得：
四、解答题：本题共2小题，共16分．
17. 已知满足，求平方根．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值后，代入的表达式，求出值，然后将代入所求式子化简整理即可．
【详解】由题意得
∴
∴
∴
∴
∵2的平方根为
∴
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个．
18. 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式处理，可证；
（2）将根代入方程求得参数；
【小问1详解】
证明：，
∵不论为何值，
∴
∴方程总有两个实数根.
【小问2详解】
解：把代入关于的一元二次方程，得，
解得
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，方程根的定义；掌握根的判别式是解题的关键．
五、解答题：本题共2小题，共20分．
19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可；
（2）设中间那个数为，列得，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
【详解】解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，
；
(2)证明：设中间那个数为，则：
∴．
．
【点睛】此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．
20. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设将原方程化为①，解得．
当时
当时，，
原方程的解为
阅读后解答问题：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
利用上述材料中的方法解方程：
【答案】（1）换元，整体与划归；（2），
【解析】
【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；
（2）令，得，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．
【详解】解：（1）将设为y，利用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想，
故答案是：换元，整体与划归；
（2）令，则，解得，，
当时，，解得，，
当时，，，方程无解，
综上：方程的解是，．
【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法．
六、解答题：本题共1小题，共12分．
21. 某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．
（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：
（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．
【答案】（1）2x；200（1+2x）；100（1+x）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；
（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．
【详解】（1）由题意，得：
故答案为2x；200（1+2x）；100（1+x）；
（2）90×=60（元），90×=30（元）
60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）=（60×200+30×100）（1+4.4x）
解得：x1=0（舍去），x2=．
即x的值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
七、解答题：本题共1小题，共12分．
22. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是__________，分母有理化得_______．
（2）计算：
①当，，则________；
②________（且为整数）．
（3）根据你的推断，比较和的大小．
【答案】（1），；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）先找出各式有理化因式，然后再进行分母有理化计算即可；
（2）①先求出a+b与ab，再将原式分解因式后整体代入计算即可得到结果，
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
（3）先求它们的倒数，进行分母有理化，比较它们倒数的大小，再确定原数的的大小即可．
【详解】解：（1）根据平方差公式的有理化因式可以是，
根据平方差公式有理化分母为，，
故答案为：，；
（2）①∵，，
∴，，
则；
故答案为
②，
=，
=，，
=，
=，
故答案为：；
（3），
，
，即，
．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
八、解答题：本题共1小题，共14分．
23. 如图所示，在中，，，，．

（1）点P从点A开始沿向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿向A点以2cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，经过t秒后，的长度为______，的长度为______．
（2）在（1）的背景下，经过几秒的面积等于．
（3）点P从点A开始沿向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿向C点以2cm/s的速度移动．如果，同时出发，经过几秒的面积等于．
【答案】（1），；
（2）当t为或时，的面积等于
（3）经过秒，的面积等于．
【解析】
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，再列代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）画出图形，根据，求出边上的高，根据面积列方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵的面积等于，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴当t为或时，的面积等于；
【小问3详解】
∵，，，
∴，
∴最长运动时间为，
如图，连结，过Q作于点H，
同理可得：，，，

∵，
∴，
当的面积等于时，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
答：经过秒，的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，根据路程=速度×时间求出各个线段的长度是解题的关键．
9月份生产数量
生产数量的增长率
10月份生产数量
产品A
200


产品B
100
x