安徽省合肥市高新区2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省合肥市高新区2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，故选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. B. 2，1C. 0，1D.
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，
故选：A．
3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．与不是同类二次根式，故不符合题意；
B．与不是同类二次根式，故不符合题意；
C．与不是同类二次根式，故不符合题意；
D．与是同类二次根式，故符合题意．
故选：D．
4. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5. 已知算式的值介于整数和之间，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，
∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
6. 已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行了21场比赛，若设有支球队参加比赛，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设有支球队参加比赛，则每队参加场比赛，根据题意得：
，
故选：B．
7. 已知等腰三角形的两边长分别为，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】等腰三角形的两边长分别为，
当腰长是，底边长为时，
∵，，
∴此时不能构成三角形；
当腰长是，底边长是时，
∵，，
∴能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为，
故选：C．
8. 若，则的值为（ ）
A. 或1B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】设，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，（不符合题意舍去）；
∴，
故选：C．
9. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】有数轴得，，，
∴，，
∴，
．
故选：B．
10. 《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作．其书中有一种几何方法可以解形如的方程的正数解，方法如下：如图，将四张长为、宽为的长方形纸片（面积均为27）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，因此大正方形的边长为12，故得的正数解为．小辉按此方法解关于的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为25，则的值是（ ）
A. 36B. 38C. 41D. 45
【答案】C
【解析】∵大正方形的面积为169，小正方形的面积为25，
∴关于x的方程化为，
∴图中长方形的长为，宽为x，
∴图中小正方形的边长是，
大正方形的边长是，
∴，，
∴，
故，，
∴，
故选：C．
二、填空题
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 若是关于的一元二次方程，则的值是___________．
【答案】
【解析】∵是关于的一元二次方程，
∴且，
解得．
故答案为：．
13. 若是一元二次方程的根，则的值为___________．
【答案】
【解析】∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故答案为：．
14. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3．
（1）较小正方形的边长为___________．
（2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为___________．
【答案】①. ②. 9
【解析】（1）∵较小的正方形面积为8，
∴较小正方形的边长为，
故答案为：；
（2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴；
②由①得，重叠部分也为正方形，
∵重叠部分的面积为3，
∴重叠部分的边长为，
∴一个空白长方形的宽为：，
∵两处空白部分的面积为：，
∴一个空白长方形面积为：，
∴一个空白长方形的长为：，
∴较大正方形边长为：，
∴大正方形面积，
∴阴影部分的面积为
故答案为：；9．
三、解答题
15. 计算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
17. 已知，求代数式的值．
解：∵，
∴
．
18. 对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题：
（1）计算：．
（2）若的值为1，求的值．
解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
即，
∴，即，
∴，解得．
19. 行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
（1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）．
（2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
解：（1）根据题意得，．
把，，代入得
，
∴该楼层落地时速度为．
（2）不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的倍，
∴．
将的值代入公式中，得：
，
∴，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．
20. 观察下列一组等式，然后解答问题：，，
（1）计算：；
（2）比较与的大小．
解：（1）∵，
，
，
，
……，
第个等式为：，
∴
；
（2），
，
，
∴．
21. 阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
例如】解一元二次方程，
设（m为常数），
将原方程化为，①
方程①整理，得，②
令，解得．
当时，，
方程②化为，解得，
___________，___________．
任务：
（1）直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________．
（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程．
解：（1）解一元二次方程，
设（m为常数），
将原方程化为，①
方程①整理，得，②
令，解得．
当时，，
方程②化为，解得，
，．
故答案为：，；
（2）设（m为常数），
将原方程化为①
方程①整理，得
②
令解得，
当时，，
方程②化为．
解得，，，
，．
22. 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
．．．．．．
（1）请写出第6个等式：___________．
（2）通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数的平方差．如果与是两个相邻的整数，其中，设，，试说明：．
（3）如果与是两个相邻的整数，求的值．
解：（1）观察前面给出的等式：
可以发现规律：第n个等式左边是，右边是．
那么第6个等式，，左边是，右边是．
所以第6个等式为：．
（2）已知，，其中．
则，．
所以．
又因为，
所以．
（3）已知与是两个相邻的整数，
设，则．
由前面的结论可知，．即，
移项得，
两边同时除以2得．
两边同时平方得．
23. 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值．
解：．
，
，
当时，取最大值，最大值是5．
试利用配方法解决下列问题：
（1）求出的最小值．
（2）已知，试判断的大小，并说明理由．
（3）如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？
解：（1），
，
，
当时，有最小值，最小值为，即的最小值为．
（2），理由如下：
，
，
，
∴．
（3）由题意得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为1．即：当的值为1时，的面积有最大，最大值为．
∵四边形的面积，
，
当的面积最大时，四边形的面积有最小值，
即当时，四边形面积的最小值，最小面积为．