安徽省合肥市第四十五中学九年级上学期期末调研数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市第四十五中学九年级上学期期末调研数学试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为，开口向上，开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：A．
2. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 若，则下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质分别判断即可，熟练掌握比例的性质是关键．
【详解】解：A．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意；
B．∵，∴，故选项说法正确，符合题意；
C．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意；
D．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
4. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
，，
，故A不符合题意；
如图2，
，，
，故B不符合题意；
如图3，
，，，
，，
，
，
，故C不符合题意；
如图4，
与的对应边不成比例，
与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
5. 已知是的函数，下表是与的几组对应值：
与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数．
【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确；
故选：C．
6. 如图，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．利用勾股定理求出AB，再减去可得的长．
【详解】解：由图可知：，
∵，
∴，
故选：D．
7. 如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（ ）
A. 24B. 12C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答．
【详解】解：如图，作轴于M，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴点是中点，
∵的面积为12，
∴的面积为，
∴面积为，
∵点在双曲线上，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
8. 如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
经过点的弦的长度不可能是7．
故选：A．
9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，先证明为直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴，
∴，即为直角三角形，
∴，
故选：D．
10. 如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（ ）
A. 最小值为B. 的最大值为1
C. 面积的最大值是D. 的最小值是3
【答案】D
【解析】
【分析】先证明是等边三角形；得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据，为定值，得出当最小时，最大，根据时，最小，此时最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据，得出，说明当最小时，面积最大，根据为等边三角形，得出当边长最小时，面积最小，求出的最小值为，最后求出结果即可判断C选项；设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵为等边三角形，
∴此时，
根据勾股定理得：，
∴的最小值为，故A正确，不符合题意；
∵，为定值，
∴当最小时，最大，
当时，最小，此时最大，
∵是等边三角形，
∴当时，，，
∴，
∴此时平分，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴此时，
∴，
∴此时，
根据勾股定理得：，
∴此时，
即的最大值为1，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，面积最大，
∵为等边三角形，
∴当边长最小时，面积最小，
∵的最小值为，此时上的高为3，
∴的最小值为，
∴面积的最大值为，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
设，，
∴
，
∴当时，取最大值，
∴此时，
∴此时，
∵为等边三角形，
∴此时，，
∴此时，
∴平分，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴此时，
∴，
∴，
即的最大值为3，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴没有实数根，
∴，．
故答案为：．
12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题．
【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
13. 如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为__________°．
【答案】29
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵半径互相垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为29．
14. 已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点．
（1）若，，则的值为__________；
（2）在（1）的条件下的值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，进而可得，，由此即可求出的值；
（2）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，于是可得直线的解析式为，设，则有，解方程即可求得，过点作轴于点，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得，且，于是得解．
【详解】解：（1），，
二次函数的解析式为，点的横坐标是，
当时，，
，
轴于点，轴于点，
，，
，，
，
故答案为：；
（2），，
二次函数的解析式为，点的横坐标是，
当时，，
，
轴于点，轴于点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
与抛物线交于点，
设，则有：
，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
如图，过点作轴于点，
，
轴，轴轴，
轴，
，
由（1）可得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，公式法解一元二次方程，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可．
【详解】解：
．
16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式．
【答案】y=-x2+4x-3
【解析】
【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可．
试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得
解得.
∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3.
即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形．
（1）在图中标出点的位置，并写出点的坐标；
（2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为．
【答案】（1）作图见解析；点的坐标为
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于一点，从而得到在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形；
（2）连接三个顶点与位似中心原点，取线段中点，连接三条线段中点即可得到所求的位似图形，使与的相似比为．
【小问1详解】
解：作图如下：
点的坐标为；
【小问2详解】
作图如下：
即所作．
【点睛】本题考查位似定义及性质，涉及找位似中心、作位似图形，熟练掌握位似的定义及性质是解决问题的关键．
18. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证明，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，再证明，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为．
（1）求的值；
（2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）8 （2）
（3）6
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法．
（1）根据中点坐标求出点C的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先求出点，再求出直线表达式为：，求出当时，，求出点；
（3）根据求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵点为，是的中点，
∴点为，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵轴，点为，
∴把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴；
【小问3详解】
解：
．
20. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．
（1）求证：点是弧的中点；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理．
（1）连接，证明，即可证明点是弧的中点；
（2）连接，证明，列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴；
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C是弧的中点；
【小问2详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴；
∵
∴，
∴，
∵；
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（舍去），
故．
六、解答题（本题满分12分）
21. 合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，）
（1）求的面积（结果精确到平方千米）；
（2）求的长度（结果精确到千米）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键．
（1）过点作于点，可得，，在中，根据正余弦可求得、的长度，在中，根据等腰直角三角形的性质，可得的长度，进而得出，根据三角形面积公式求得结果；
（2）过点作于点，可得，在中，根据正弦可求出，在中，根据正弦求出即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，
由题意可得，，
在中，，，
在中，，
；
【小问2详解】
解：过点作于点，易证，
在中，，
在中，．
七、解答题（本题满分12分）
22. 项目化学习
项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价．
项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
（1）根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________；
（2）吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润．
【答案】（1）一次；；
（2）单价定为元时，每月可获得最大利润元
【解析】
【分析】（）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可；
（）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数，
设一次函数关系式为，
∴，解得：，
∴一次函数关系式为，
故答案为：一次，；
【小问2详解】
解：
，
∵，
∴图象开口向下，
当时，，
答：当吴山贡鹅单价定为元时，每月可获得最大利润元．
八、解答题（本题满分14分）
23. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到；
（3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：（1）∵，，．
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴；
（2）∵，是的中线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴．
…
2
4
6
…
…
6
3
2
…
贡鹅销售单价（元千克）
…
…
每月销售数量（千克）
…
…