安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷-A4，共27页。
A．顶点坐标为（﹣3，2）B．顶点坐标为（﹣3，﹣2）
C．顶点坐标为（3，2）D．顶点坐标为（3，﹣2）
2．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．a+b＝5B．3a＝2bC．D．
3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
4．（4分）关于二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣1）的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝0
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．抛物线和x轴交于（﹣1，0）、（1，0）
5．（4分）关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A．k＝4
B．y随x的增大而减小
C．其图象关于y轴对称
D．若点（a，b）在其图象上，则
6．（4分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剩下的阴影三角形与原三角根的不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线y2＝ax+b+c的位置可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+4在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，求PA+PB的最小值（ ）
A．B．C．5D．
9．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．CE∥ADB．BD＝AD
C．∠ABE＝∠CBED．BO•AE＝AO•BC
10．（4分） 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，BC＝BE，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DCC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①AB＝4cm；②当0＜t≤5时，2；③点H的坐标为（11，0）；④若△ABE与△QBP相似，则t＝4秒，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共4小题，每题5分，共20分，请同学们认真计算不留造感）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为 ．
12．（5分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．
13．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是 ．
14．（5分）如图，反比例函数的图象分别交矩形OABC的边AB，BC于点D、E，CE＝2，AD：DB＝1：2，则OA＝ ；连接DE．若把△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 ．
三.解答题（共9小题，共90分，请同学们规范答题细致正确）
15．已知实数x，y，满足，试求的．
16．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+1的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（3）x取何值时，y＞0？
17．如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标．
18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AC＝6，BD＝5，CD＝4．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若△ABC的面积为18，求△ABD的面积．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式及A点坐标；
（2）直接写出不等式y1＜y2时x的取值范围．
20．如图，E为▱ABCD的边BA的延长线上一点，连接CE，交BD与点O，交AD与点F，求证：．
21．一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）．
（1）求销售利润y关于x的函数解析式；
（2）若获利不得高于进价的60%，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？
22．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h+m＝3，kn＝﹣1，且开口方向相间，则称y1、y2互为“致真二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“致真二次函数”． ；
（2）已知关于x的二次函数y1＝（x﹣2a）2﹣1和二次函数，若函数y1、y2互为“致真二次函数”，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若直线x＝b与y1和y2图象分别交于点E和点F，当y1＜y2时，求线段EF的最大值．
23．【数学模型】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF，垂足为点O，则＝ ．
【模型探究】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，DF与CE交于点O，且∠FOC＝∠A，请证明：DF•AB＝AD•CE；
【拓展应用】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AD、BC、AB上，连接DG与EF交于点O，其中AD＝53，AG＝10，∠A＝∠DFG＝∠FOG＝120°，且，求的值．
2024-2025学年安徽省合肥四十五中本部九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题4分共40分，请同学们相信自己认真审题）
1．（4分）关于二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）B．顶点坐标为（﹣3，﹣2）
C．顶点坐标为（3，2）D．顶点坐标为（3，﹣2）
【分析】根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标为（3，2），
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
2．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．a+b＝5B．3a＝2bC．D．
【分析】根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D．
【解答】解：根据比例的性质和合比的性质得，
A、a+b有无数个值，故A错误，故A选项符合题意；
B、由比例的性质，得3a＝2b，故B正确，故B选项不符合题意；
C、由合比性质，得＝，故C正确，故C选项不符合题意；
D、由合比性质，得故D正确，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，关键是比的性质的熟练应用．
3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
【分析】利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
4．（4分）关于二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣1）的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝0
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．抛物线和x轴交于（﹣1，0）、（1，0）
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣1），
∴a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
故A正确，不符合题意；
∴抛物线对称轴为直线x＝0，
故B正确，不符合题意；
又∵抛物线开口向下，
对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
故C错误，符合题意；
抛物线和x轴交于（﹣1，0）、（1，0），
故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与x轴交点问题，熟练掌握图象与系数关系、抛物线的图象和性质是解题的关键．
5．（4分）关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A．k＝4
B．y随x的增大而减小
C．其图象关于y轴对称
D．若点（a，b）在其图象上，则
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【解答】解：∵k＝，故A错误，不符合题意；
∵k＝，
∴图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B错误，不符合题意；
反比例函数y＝的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，故C错误，不符合题意；
将（a，b）代入y＝得，b＝，即ab＝，故D正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质以及关于x、y轴对称的点的坐标，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
6．（4分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剩下的阴影三角形与原三角根的不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
7．（4分）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线y2＝ax+b+c的位置可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由二次函数的图象可得a＞0，a﹣b+c＜0，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可．
【解答】解：当x＝﹣1时y1＝a﹣b+c＜0，
∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C，
直线y2＝ax+b+c中的a＞0，排除选项D，
选项A符合以上推理出来的条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+4在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，求PA+PB的最小值（ ）
A．B．C．5D．
【分析】依据题意，点A关于x＝1对称的点是C，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BC，可得PA+PB的最小值为BC的长度．
【解答】解：如图所示，点A关于x＝1对称的点是C，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BC与直线x＝1的交点即为点P．
∵A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴C（3，0）．
又∵B（0，4），
∴BC＝＝5．
∴PA+PB的最小值为5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
9．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．CE∥ADB．BD＝AD
C．∠ABE＝∠CBED．BO•AE＝AO•BC
【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE∽△BOC，
∴，
∴BO•AE＝AO•BC，
∴D选项的结论符合题意，
∵，∠BAC＝∠DAE，
则∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴∠ACE与∠BEC不一定相等，
故C选项的结论不符合题意；
已知条件不能证明CE∥AD，BD＝AD，
故A、B选项不符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分） 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，BC＝BE，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DCC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①AB＝4cm；②当0＜t≤5时，2；③点H的坐标为（11，0）；④若△ABE与△QBP相似，则t＝4秒，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据P、Q运动路程和轨迹，结合图2数据一一分析即可得解．
【解答】解：∵BC＝BE，且P和Q速度相同，
∴当P到达点E时，Q到达点C，
由图2可知此时t＝5s，y＝10 cm2，
即BC＝BE＝5 cm，S△BEC＝10 cm2，
∴BC•AB＝10，
解得AB＝4 cm，
故①正确，符合题意；
由图2易得M（5，10），
设y＝at2，将M坐标代入得a＝，
∴y＝t2，
故②正确，符合题意；
∵AB＝4 cm，BE＝5 cm，
∴AE＝＝3 cm，
∴ED＝AD﹣AE＝2 cm，
∴BE+ED+CD＝5+2+4＝11 cm，
∴点H的坐标为（11，0），
故③正确，符合题意；
当t＝4时，BQ＝BP＝4 cm，此时△BPQ是等腰三角形，
而△ABE是直角三角形，很明显不相似，
故④错误，不符合题意；
所以正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是结合函数图象逐项分析4条结论是否成立．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
二.填空题（共4小题，每题5分，共20分，请同学们认真计算不留造感）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为 y＝（x﹣3）2+5 ．
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5．
故答案为：y＝（x﹣3）2+5．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知左加右减，上加下减的法则是解题的关键．
12．（5分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 （12﹣4） 米（结果保留根号）．
【分析】设主持人站的位置与点Q的距离为x米，根据黄金分割的定义建立关于x的方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设主持人站的位置与点Q的距离为x米，
由黄金分割的定义得：＝，
解得：x＝4﹣4，
∴8﹣（4﹣4）＝12﹣4，
即主持人站在最佳位置处时至少要走（12﹣4）米，
故答案为：（12﹣4）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
13．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是 ．
【分析】过D作DH∥AC交BE于H，利用平行线分线段成比例，可求出AE＝4DH，CE＝DH，二者作比后，即可得出结论．
【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H，
∴＝＝，＝＝＝＝，
∴AE＝4DH，CE＝DH，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
14．（5分）如图，反比例函数的图象分别交矩形OABC的边AB，BC于点D、E，CE＝2，AD：DB＝1：2，则OA＝ 6 ；连接DE．若把△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 12 ．
【分析】过D作DH⊥OC 于点H，设AD＝3m，则DB＝FD＝5m，OC＝AB＝8m，则D（3m，），E（8m，1.5），利用待定系数法求得k＝12m，进而得到D（3m，4），于是OA＝DH＝4，则BC＝4，求得BE＝BC﹣CE＝2.5，再利用勾股定理求得FC＝2．利用相似三角形的判定与性质求得m值，则D（3，4），利用待定系数法解答即可得出结论．
【解答】解：过D作DH⊥OC 于点H，如图，
∵△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，
∴DF＝DB，
∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
∵AD：DB＝1：2，
∴设AD＝m，则DB＝FD＝2m，OC＝AB＝3m．
∵CE＝2，反比例函数，
∴D（m，），E（3m，2），
∴m×＝3m×2，
∴k＝6m，
∴D（m，6），
∴OA＝DH＝6，
∴BC＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝4．
由翻折的性质得：EF＝BE＝4，∠DFC＝∠B＝90°，
∴FC＝＝2，∠DFH+∠EFC＝90°，
∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠DFH＝∠FEC．
∵∠DHF＝∠FCE＝90°，
∴△DHF∽△FCE，
∴，
∴．
解得：m＝2，
∴AD＝2，
∴D（2，6），
∴k＝2×6＝12．
故答案为：6，12．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，反比例的图象与性质，翻折的性质，利用线段的长度表示出对应点的坐标是解题的关键．
三.解答题（共9小题，共90分，请同学们规范答题细致正确）
15．已知实数x，y，满足，试求的．
【分析】设＝k，根据比例的性质得出x＝3k，y＝4k，再把x＝3k，y＝4k，代入求出即可．
【解答】解：设足＝k，
则x＝3k，y＝4k，
所以原式
＝
＝
＝10．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc，反之亦然．
16．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+1的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（3）x取何值时，y＞0？
【分析】（1）根据配方法求解；
（2）把x的值代入解析式计算，再根据描点法作图；
（3）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当x的值为﹣1，0，1，2，3时对应的y的值分别为：0，﹣3，﹣4，﹣3，0，
故答案为：﹣1，0，1，2，3；0，﹣3，﹣4，﹣3，0；
图象如下图所示：
（3）由图象得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题考查了抛物线的性质及与x轴的交点，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
17．如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标．
【分析】（1）延长MA到A′使AA′＝MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所作的图形；
（2）由（1）作图可得，A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
【点评】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AC＝6，BD＝5，CD＝4．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若△ABC的面积为18，求△ABD的面积．
【分析】（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可求解；
（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD＝5，CD＝4，
∴BC＝BD+CD＝9，
∵AC＝6，
∴，，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC；
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴，
∵S△ABC＝18，
∴，
∴S△ABD＝S△ABC﹣S△DAC＝18﹣8＝10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式及A点坐标；
（2）直接写出不等式y1＜y2时x的取值范围．
【分析】（1）将B（m，﹣5）代入y1＝x﹣3得出B（﹣2，﹣5），再利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，联立，计算即可得解；
（2）由函数图象即可得解．
【解答】解：（1）将B（m，﹣5）代入y1＝x﹣3得：m﹣3＝﹣5，
解得：m＝﹣2，即B（﹣2，﹣5），
将B（﹣2，﹣5）坐标代入得k＝10，
∴；
联立方程组，解得：；，
∴A（5，2）；
（2）由图象和交点坐标可得，不等式y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜5．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解此题的关键．
20．如图，E为▱ABCD的边BA的延长线上一点，连接CE，交BD与点O，交AD与点F，求证：．
【分析】根据题意利用平行四边形性质证明△COD∽△EOB，再证明△FOD∽△COB，继而利用相似性质即可得到本题答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥BE，AD∥BC，
∴∠OCD＝∠BEO，
∵∠COD＝∠BOE，
∴△COD∽△EOB，
∴，
∵AD∥BC，
∴△FOD∽△COB，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）．
（1）求销售利润y关于x的函数解析式；
（2）若获利不得高于进价的60%，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣进价）×销量，即可求出销售利润y关于x的函数解析式；
（2）根据获利不得高于进价的60%，可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（100+x﹣80）（160﹣10x）＝（20+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+120x+3200，
∴销售利润y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+120x+3200；
（2）∵获利不得高于进价的60%，
∴100+x﹣80≤80×60%，
解得：x≤28，
∴x的取值范围为0≤x≤28，
∵y＝﹣2x2+120x+3200＝﹣2（x﹣30）2+5000，
∴当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，y取得最大值，
∴售价提高28元时，月销售利润达到最大．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h+m＝3，kn＝﹣1，且开口方向相间，则称y1、y2互为“致真二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“致真二次函数”． y＝（x﹣2）2﹣1 ；
（2）已知关于x的二次函数y1＝（x﹣2a）2﹣1和二次函数，若函数y1、y2互为“致真二次函数”，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若直线x＝b与y1和y2图象分别交于点E和点F，当y1＜y2时，求线段EF的最大值．
【分析】（1）求得y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为（1，1），从而得出其“致真二次函数”的顶点是（2，﹣1），进一步得出结果；
（2）可得出y1，y2的顶点分别为（2a，﹣1）和（a，1），从而得出2a+a＝3，从而得出a＝1；
（3）根据y1＜y2得出（x﹣2）2﹣1＜（x﹣1）2+1，从而3﹣2，可得出EF＝y2﹣y1＝﹣，进而得出当b＝3时，EF最大＝3．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴其“致真二次函数”的顶点是（2，﹣1），
∵它们开口方向相同，
∴其“致真二次函数”可以为：y＝（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）∵y1，y2的顶点分别为（2a，﹣1）和（a，1），
∴2a+a＝3，
∴a＝1；
（3）∵y1＜y2，
∴（x﹣2）2﹣1＜（x﹣1）2+1，
∴3﹣2，
∴3﹣，
∵EF＝y2﹣y1＝＝﹣，
∴当b＝3时，EF最大＝3．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23．【数学模型】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF，垂足为点O，则＝ ．
【模型探究】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，DF与CE交于点O，且∠FOC＝∠A，请证明：DF•AB＝AD•CE；
【拓展应用】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AD、BC、AB上，连接DG与EF交于点O，其中AD＝53，AG＝10，∠A＝∠DFG＝∠FOG＝120°，且，求的值．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ABC＝∠C＝90°，根据垂直的定义得到∠AOB＝90°，求得∠BAE＝∠CBF，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到＝，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AB＝CD，得到∠ADC＝∠COD根据相似三角形的性质得到结论；
（3）根据四边形ABCD是平行四边形，得到∠C＝∠A＝120°，DC＝AB，BC＝AD＝53，同（2）可得，在BC上取一点P使得BG＝BP，连接GP，根据平行线的性质得到∠B＝60°，推出△GBP是等边三角形，得到BP＝GB＝GP，∠BPG＝60°，根据相似三角形的性质得到＝，设CD＝2x，则PF＝3x，PG＝PB＝BG＝AB﹣AG＝2x﹣10，求得CF＝PG＝﹣，根据BC＝PB+PF+FC＝53，列方程即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠ABO＝∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，
∴＝，
故答案为：；
（2）证明：∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC，
∴∠DOE＝∠A，
又∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴DF•AB＝AD•CE；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝120°，DC＝AB，BC＝AD＝53，
同（2）可得，
在BC上取一点P使得BG＝BP，连接GP，
∵AD∥BCMN，∠A＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△GBP是等边三角形，
∴BP＝GB＝GP，∠BPG＝60°，
∴∠GPF＝120°＝∠C；
∵∠GFD＝120°，
∴∠GFP+∠DFC＝60°＝∠PGF+∠DFC，
∴∠PGF＝∠DFC，
∴△PGF∽△CFD，
∴＝，
设CD＝2x，则PF＝3x，PG＝PB＝BG＝AB﹣AG＝2x﹣10，
∴CF＝PG＝﹣，
∵BC＝PB+PF+FC＝53，
∴2x﹣10+3x+﹣＝53，
解得x＝11，
∴DC＝2x＝22，
∴＝＝．
x
…





…
y
…





…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
D
C
A
C
D
C
x
…
﹣1
0
1
2
2
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…