安徽省合肥市第四十五中学森林城分校九年级上学期期中数学练习卷 （解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市第四十五中学森林城分校九年级上学期期中数学练习卷 （解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键．
【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意；
B.整理得，结论错误，故不符合题意；
C.整理得，结论正确，故符合题意；
D.整理得，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是．
故选：D
3. 已知线段，线段是线段的比例中项，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，得出，求出，即可得到答案．
【详解】解：线段，线段是线段的比例中项，
，
，
，
，
是线段，
，
，
故选：B．
4. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左平移个单位，再向上平移个单位B. 向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 向右平移个单位，再向上平移个单位D. 向右平移个单位，再向下平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线，
则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
故答案为：．
5. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据题意得到，即，求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
6. 反比例函数图象上有三个点，，，若，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据反比例函数增减性比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知的图象在第二或第四象限中，随的增大而增大，且在第二象限中，在第四象限中，由，可得．
【详解】解：∵，
∴的图象在第二或第四象限中，随的增大而增大，且在第二象限中，在第四象限中，
∵，
∴，
故选：C．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意．
故选∶A．
8. 如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，得到，得到，得到，选项C正确；证明，得出，得到，选项A正确；可证明，得到，选项B正确； ，选项D错误；即可得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
，
，
，
选项C正确；
，
，
，
，
选项A正确；
，
，
，
选项B正确；
，
选项D错误；
故选：D．
9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
10. 如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作于点，由四边形和四边形是正方形，得，，，则可证是等腰直角三角形，
设，则，，，又四边形是平行四边形，则，再证是等腰直角三角形，根据性质得，设，则，再证明从而根据相似三角形的性质得，即，最后求出即可求解．
【详解】过作于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，，
由勾股定理得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可．
【详解】解：设两地的实际距离是，
根据题意得，
解得：，
，
∴两地的实际距离是．
故答案为：．
12. 如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为___________cm．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
根据黄金分割的定义计算即可．
【详解】解：支撑点是弦靠近点的黄金分割点，，
，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值．
【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点，
∴两点关于原点对称，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点，
∴，解得，
∵该反比例函数图像在二、四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
14. 如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则：
（1）___________．
（2）设的面积为，的面积为，___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到．
【详解】解：在上取一点，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴①，
由翻折可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴②，
由①②得；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：，．
【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
根据题意设二次函数的解析式（），把代入求出，即可得到答案．
【详解】解：图象的顶点坐标是，
设二次函数的解析式（），
把代入得，
解得，
二次函数的解析式为．
16. 如图，在网格图中，已知和点．
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
（2）写出各顶点的坐标．
【答案】（1）图见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
（1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到；
（2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标．
【小问1详解】
解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的；
【小问2详解】
解：由图可得：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，D是边上一点，且满足，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键．
证明，再根据对应边成比例求出即为．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
18. 如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．
（1）若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m；
（2）求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，即可列代数式；
（2）由题意得，再利用二次函数的性质即可求解．
小问1详解】
解：
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，面积取得最大值为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知直线与反比例函数的图象相交于A，两点，连接．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求出的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式；反比例函数表达式
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点，设直线交轴于点，求出，得到，根据即可求得答案．
【小问1详解】
解：直线与反比例函数的图象相交于A，两点，
，
，
一次函数的表达式为；
在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）知一次函数的表达式；反比例函数表达式，
直线与反比例函数的图象相交于A，两点，
，
解得：
当时，，
，
如图，设直线交轴于点
当时，，
解得，
，
，
．
20. 如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）利用已知条件首先证明，然后利用相似三角形的判定即可解决问题；
（2）过点作于H，先由勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得到，利用等面积法求出的长，进而得到的长，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【小问1详解】
证明：是的角平分线，
，
∵，
∴，
，
∵，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于H，
在中，由勾股定理得，
是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
21. 世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元．
（1）若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？
（2）若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值．
【答案】（1）的值应定为
（2）此商场每天销售该吉祥物最大利润为元，相应的值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到，解得，即可得到答案．
（2）由题意得，得到，设总利润为元，得到 ，得出当时元．
【小问1详解】
解：由题意得，
整理得：，
解得，
要尽快清空库存，
，
答：的值应定为；
【小问2详解】
解：由题意得，
解得：，
，
设总利润为元，
由题意得
，
，
当时，随的增大而增大，
当时元，
答：此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为．
22. 如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的长；
（3）如图3，连接，当点为中点时，求的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，由三角形内角和定理、平角的定义得到，，即，由相似三角形的判定即可求解；
（2）根据题意得到，，设，则，，则，由此即可求解；
（3）根据题意得到，，，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出，再证，得到，求出，，，在中由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
解：当点为中点时，，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴，即，
∴，，
如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴由，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在中，．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
23. 已知二次函数的图象过点．
（1）求该二次函数表达式；
（2）如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当时，求点P的坐标；
②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②存在最大值，最大值为12．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键．
(1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式；
(2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值．
【小问1详解】
解：的图象过点，
，
，
解得：，
二次函数表达式为：；
【小问2详解】
解：二次函数表达式为：，
二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点，
点，点，点，
设点，
，
，
①，
，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
②，