安徽省宿州市砀山县上学期九年级数学期中考试题（解析版）-A4

这是一份安徽省宿州市砀山县上学期九年级数学期中考试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A. 对角线互相平分且相等的四边形B. 有三个角是直角的四边形
C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 对角线相等的菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意．
故选：D．
2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
A. ，符合：
B. ，不符合：
C. ，不符合：
D. ，不符合：
故选：A．
3. 已知下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的值不变．
运用分式的基本性质逐一判断即得．
【详解】A. ∵，∴，∴此种说法正确；
B. ∵，∴，∴此种说法正确；
C. ∵，∴当时，不成立，∴此种说法不正确；
D. ∵，∴，∴此种说法正确．
故选：C．
4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
有一个根，代入，
可得，解之得；
∴；
故选：A．
5. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键．
根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故选：B．
6. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．
【详解】解：设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，
由题意得：，
整理得，
故选：A．
7. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（ ）个
A. 15B. 8C. 16D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故选：A．
8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【详解】解：过点D作，交于H，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9. 已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键．
【详解】解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
10. 平行四边形的对角线交于点O，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，可得，再根据角平分线的定义得到，推出是等边三角形，进而不难证得∠，据此试着判断①是否正确； 由，进而得出的面积，据此判断②是否正确； 运用直角三角形得到，根据三角形的中位线的性质得到，于是得到的值，进而判断③是否正确； 由已有的信息可得，根据相似三角形的性质得到，进而判断④是否正确，从而完成解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
故①正确；
∵，
∴，
故②正确；
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故④正确．
综上可知，成立的有4个．
故选：D．
【点睛】此题综合考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质．含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，熟练掌握是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知为的三边，且，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为三边，可得，进而得到．
【详解】解：∵，
∴，，，
可得，
∴，
∵a、b、c为的三边，
∴，
∴．
故答案为：1．
12. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得△ABC∽△EDC，相似三角形成比例得解．
【详解】∵△ABC∽△EDC，
∴，，CB=6，BD=6-2=4．
故BD为4m．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是清楚相似三角形的性质．
13. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．
【详解】连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
∴CP=AP，
∴EP+CP=EP+AP
连接AE交BD于P’， EP+AP的最小值为AE
即EP+CP的最小值为AE，
∵等边△ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
14. 如图，在四边形中，，，，，分别为上的点．连接，，．

（1）当点E与点B重合时，______．
（2）若点E不与点A，B重合，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）当点E与点B重合时，点与点重合，连接，，根据，，可得垂直平分，根据勾股定理可得，然后根据三角形面积的不同表示方式可得结果；
（2）证明，则，结果可得．
【详解】解：（1）当点E与点B重合时，点与点重合，连接，，

∵，，
∴垂直平分，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设、交于点，、交于点，

∵，
∴在和中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：；
16. 在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系中，已知格点A、（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，画出平移后的线段（A的对应点为，的对应点为）；
（2）以原点为位似中心，画线段，使得与位似比为2（的对应点为，的对应点为）；
（3）连接、交于点，则___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题是考查平移与位似变换问题，解题关键是熟练掌握用平移性质与位似性质，根据性质变换作图；
（1）根据平移的性质即可将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，进而得到平移后的线段；
（2）根据位似图形的性质即可以原点O为位似中心，画出线段；
（3）根据位似比和勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
解：（1）如图，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，正方形的对角线与交于点O，过点C作，过点D作，与交于点E．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵正方形的对角线与交于点O，，
∴，，
∴四边形是正方形．
18. 用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形．
（1）铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块．
（2）按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含的代数式表示）
（3）若第个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出的值．
【答案】（1）17；10
（2）；
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出变化规律是解题的关键．
（1）根据图形即可解答；
（2）由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，即可解答；
（3）根据（2）可得第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形，再建立方程求解，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
铺第4个图形用黑色正方形块，用白色正方形块，
小问2详解】
解：由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，
∴铺第个图形用黑色正方形块，用白色正方形块，
【小问3详解】
解：由（2）可得：第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形，
∴，
∴，
解得（不符合题意的根舍去）．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
20. 如图，四边形中，平分，，为的中点，
（1）求证：；
（2）求证： ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定，角平分线定义，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定及性质，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）先根据角平分线得出，进而判断出，根据相似三角形性质即可得出结论．
（2）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，根据角平分线性质得到，从而，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论；
（3）证，根据相似三角形性质可得：，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵在直角三角形中，E为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ．
小问3详解】
解：由（2）知，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
六、（本题12分）
21. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，
请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】（1）100，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，
故答案为：100；
小问2详解】
解：“羽毛球”人数所占比例：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
七、（本题12分）
22. 张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点．
（1）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
（2）若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合正方形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答．
（2）结合矩形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：设这个零件的边长为r，
∵四边形为正方形，且的高，边，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
这个零件的边长为；
【小问2详解】
解：依题意，设这个零件的边，
∵四边形是矩形，且的高，边，
∴，
∴，
∴（相似三角形的高的比等于相似比），
∴，
解得．
∴这个零件的长、宽分别是．
八、（本题14分）
23. 在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
【答案】（1）垂直；见解析
（2）成立，见解析 （3）
【解析】
【分析】此题综合性强，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形性质等知识点．
（1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即；
（2）过点作交于点，可得出，同理可证，所以，．即．
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决．
【小问1详解】
解：与位置关系是垂直；
证明如下：
，，
．
∴，
由正方形得，，
，
，
，
．
．
．
．
【小问2详解】
时，的结论成立．
理由是：
过点作交于点，
，
，
，
同理可证：
，，
即．
【小问3详解】
如图①，当时，
过点作交于点，可得，
同理可证，
，．即．
过点作交的延长线于点，
如图②，点在线段上运动时，
，
∴．
，，
，
，
．
如图③，点在线段延长线上运动时，
，
，
．
过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
．