安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学 九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学 九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分）
1. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，9cm，13cmD. 1cm，2cm，2cm，3cm
【答案】B
【解析】
【详解】A选项中，∵，∴本选项中这组线段不是成比例线段；
B选项中，∵ ，∴本选项中的这组线段是成比例线段；
C选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；
D选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段；
故选：B．
2. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC＝，
∴，，，，
∴C正确，A、B、D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
4. 电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合该地三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：某地第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，
该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
三天后票房收入累计达亿元，
根据题意可列方程．
故选：．
5. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（ ）
A. F与l的积为定值
B. F随l的增大而减小
C. 当l为时，撬动石头至少需要的力
D. F关于l的函数图象位于第一、第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出动力F和动力臂l的函数关系式，再逐项判断即可．
【详解】解：A．∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，故A项正确，不符合题意；
B．由，可知：F随l的增大而减小，故B正确，不符合题意；
C．当时，，故C项正确，不符合题意；
D．∵动力F和动力臂l均是正数的物理量，
∴的函数图象在第一象限，故D项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
6. 人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键．
【详解】解：，
，故A选项错误；
C为的黄金分割点（），
，故D选项正确；
，故B，C选项错误；
故选D．
7. 如图，在中，，在边上，，，若面积等于9，则的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得．
【详解】解：过点作于，过点作于，
，
，
，，
，
．
，
的面积等于9，
，
，
，
．
的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
8. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当时，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；
②当时，，
一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．
9. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据相等关系，代入消元，运用解一元二次方程的相关知识，判断各选项即可．
【详解】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误；
B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项错误；
C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项错误；
D．若，则，，所以D选项正确．
故选D
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
10. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）

A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；设，则，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断D．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
如图，过点D作交于点M，

当时，
∴是的中位线，
∴，
∵，垂直，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B正确，不符合题意；
当时，设，则，
∴，
过点B作交的延长线于点N，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴点H在以为直径圆上，
当最短时，点F为的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分）
11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故答案为：
12. 如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次长________ 米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可．
【详解】解：如图，，，
则第一次观察到的影子长（米）；
第二次观察到的影子长（米）．
两次观察到的影子长的差（米）．
故答案为： ．
13. 如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】设点C的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，从而可得点B的坐标为，再根据线段中点的定义可得点A的坐标为，然后将点A的坐标代入双曲线的解析式即可得．
【详解】解：设点C的坐标为，则，
，
，解得，
，
点是OB的中点，
，即，
又点在双曲线上，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
14. 如图，中，，，为内部一点，且．
（1）__________；
（2）若，则到边距离为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】（1）由题意得，，如图，将绕点顺时针旋转到，则，，，，设，由勾股定理得，，，然后计算求解即可；
（2）由（1）可知，，，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转到，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
设，
由勾股定理得，，，
∴，
故答案为：2；
（2）解：∵，
由（1）可知，，，，
由勾股定理得，，，
∵，
∴，即，
解得，，
∴到边距离为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
三、（共2大题，每题8分，共16分）
15. 计算：°+°
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．
【详解】原式=
=，
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．
16. 如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标．

（1）以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的；
（2）点A对应点D的坐标是 ；
（3） ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）位似中心为点O，根据位似比，连接并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解；
（2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解；
（3）由题意可知相似比为，可求出，进而得出，即可求解．
【小问1详解】
如图所示， 即所求；
【小问2详解】
点的对应点的坐标是，
故答案为：；
【小问3详解】
由题可得，
，
又∵位似比为，
，
，
故答案为:．
四、（共2大题，每题8分，共16分）
17. 观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

（1）第4个图形对应的等式为______；
（2）若第n个图形对应的黑点总数为个，求n的值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；
（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
第四个图形总点数可列为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意可得，
每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，
∴第n个图形的点数为：，
∴，
整理得，解得，（舍去），
∴n的值为；
【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．
18. 如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面的坡度，斜面的坡度，根据图中数据，求：
（1）斜坡的长（结果保留小数点后一位）；
（2）梯形的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
【答案】（1）斜坡的长约为；
（2）梯形的周长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用：
（1）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出答案；
（2）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出，进而得出答案．
【小问1详解】
解：斜面的坡度，，
，
，
，
，
答：斜坡的长约为；
【小问2详解】
解：斜面的坡度，，
，
解得：，
，
梯形的周长为：，
答：梯形的周长为．
五、（共2大题，每题10分，共20分）
19. 如图，中，，平分，过点分别作，，垂足分别为点，．

（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，，求四边形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，掌握相关几何结合是进行推理的关键．
（1）根据证四边形为矩形，由角平分线的性质得即可求证；
（2）证，设正方形的边长为，则；根据即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
∵，
∴四边形为矩形
∵平分，，，
∴
∴四边形为正方形
【小问2详解】
解：设正方形的边长为，
则，
∵
∴
∴
∴
即：
解得：
20. 如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k、b、m的值；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．
【答案】（1）k=-2，b=8，m=6
（2）1＜x＜3 （3）点P的坐标为（8，0）或（0，0）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设P（t，0），根据△APC的面积为12，列出关于t的方程，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
把A（1，6）代入得：m=6，
即反比例函数的表达式为y=（x＞0），
把B（3，n）代入y=得：n=2，
即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：
，解得，
即一次函数的表达式为y=-2x+8；
【小问2详解】
观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为1＜x＜3．
【小问3详解】
设P（t，0），
∵一次函数y=-2x+8与x轴交于点 C，
将y=0代入得：x=4，
∴C（4，0），
∵A（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，
∴，
∴，
解得：t=8或t=0，
∴P（8，0）或（0，0）；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．
六、（本题12分）
21. 国家航天局消息：2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员费俊龙、邓清明、张陆全部安全顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为：不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图．
部分学生对航天科技关注程度的条形统计图

部分学生对航天科技关注程度的扇形统计图

根据以上信息解答下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为 人；补全条形统计图；
（2）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
（3）某班有4名同学（分别记为A，B，C，D，其中A为小明）非常关注航天科技，班主任要从中随机选择两名给班内同学做一次航天知识分享课．请利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）50，图见解析
（2）920人 （3）
【解析】
【分析】（1）利用不关注，关注和比较关注的人数总和除以所占的百分比，求总数，利用总数乘以非常关注的人数所占的百分比求出非常关注的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）列表法求概率即可．
【小问1详解】
解：（人）；
非常关注的人数为：（人）；
补全图形如图：
【小问2详解】
（人）；
【小问3详解】
列表如下：
共12种等可能的结果，其中小明被选中的结果有6种，
∴．
【点睛】本题考查统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
七、（本题12分）
22. 苹果和梨中含有大量的维生素和微量元素，每天吃点水果，能够补充身体对维生素的需求，使身体更健康．水果超市3月上旬购进苹果和梨共1000千克，进价均为每千克16元，然后梨以30元/千克、苹果以24元/千克的价格很快售完．
（1）若超市3月上旬售完所有苹果和梨获利不低于11600元，求购进梨至少多少千克？
（2）因气温日趋升高，水果成熟速度快，而梨过熟后口味变淡，宜适时品尝，在进价不变的情况下，该超市3月中旬决定调整价格，将梨的售价在3月上旬的基础上下调（降价后售价不低于进价），苹果的售价在3月上旬的基础上上涨；同时，与（1）中获利最低时的销售量相比，梨的销售量下降了，苹果的销售量上升了，结果3月中旬的销售额比（1）中获利最低时的销售额增加了400元，求的值．
【答案】（1）购进梨至少600千克；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）直接根据题意表示出售完所有苹果和梨的总利润进而得出不等式，求出答案；
（2）利用价格与销量的变化表示出销售额，进而得出等式求出答案．
【小问1详解】
解：设购进梨千克，则购进苹果千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：购进梨至少600千克；
【小问2详解】
解：3月中旬的销售额，
，
令，整理得：，
解得：，，
当时，售价（不合题意舍去）；
当时，售价；
当，
解得：，
故．
八、（本题14分）
23. 如图1，在中，，以为斜边作等腰直角，点在上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，延长、交于点，求证：；
（3）如图3，过点作的平行线交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可得，证明；
（2）由（1）可知，，则，由，可得，证明，则，即，进而可证；
（3）证明，则，设，则，由（1）得，，即，由勾股定理得，，即，解得，，进而可求．
小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
解得，
设，则，
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴，
∴的长为．
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C