第10讲 二次求导解决导数问题讲义-2026年高考数学二轮复习导数专题（新高考通用）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc19046" 思维导图 PAGEREF _Tc19046 \h 1
\l "_Tc29361" 高考分析 PAGEREF _Tc29361 \h 1
\l "_Tc4074" 学习目标 PAGEREF _Tc4074 \h 2
\l "_Tc26023" 知识要点 PAGEREF _Tc26023 \h 2
\l "_Tc19753" 解题策略 PAGEREF _Tc19753 \h 3
\l "_Tc18852" 题型归纳 PAGEREF _Tc18852 \h 4
\l "_Tc13209" 题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 PAGEREF _Tc13209 \h 4
\l "_Tc11832" 题型02： 利用二次求导证明不等式 PAGEREF _Tc11832 \h 10
\l "_Tc20689" 题型03： 利用二次求导求函数的单调性 PAGEREF _Tc20689 \h 16
\l "_Tc15829" 题型04： 二次求导的综合应用 PAGEREF _Tc15829 \h 19
\l "_Tc5065" 巩固提升 PAGEREF _Tc5065 \h 28
1. 考查定位：高考导数解答题的核心进阶考点，多在压轴题（20/21题） 第2问出现，侧重考查函数单调性、极值、最值、不等式恒成立/证明、零点问题，是区分高分段考生的关键题型。
2. 考查频率：全国卷（甲/乙）、新高考Ⅰ/Ⅱ卷年均考查，地方卷（浙江、江苏等）高频出现，近5年考频超80%，常与含参函数、指数/对数/三角函数结合考查。
3. 分值占比：单独考查占4-6分，常与一次求导结合构成完整解答题，整体导数题分值约12分，二次求导是解题的核心突破口。
4. 命题特点：题干函数多为复合型函数，一次求导后f’(x)仍含超越函数/无法直接判断符号，需通过二次求导f''(x)分析f’(x)的单调性，进而反推原函数f(x)的性质。
1. 逻辑推理：能通过二次求导建立“f''(x)符号→f’(x)单调性→f’(x)零点/符号→f(x)单调性”的推理链，体现层层递进的逻辑思维。
2. 运算求解：掌握复合函数、乘积/商的求导法则，能准确计算一次、二次导数，处理含参二次导数的符号判断（分类讨论/参变分离）。
3. 数形结合：能通过f''(x)分析f’(x)的图像特征（单调增/减、极值点），结合f’(x)的零点划分原函数的单调区间。
4. 分类讨论：针对含参二次导数，能根据参数范围（如a>0/a=0/a 0，分析f’(x)的单调性。
核心解题策略（四步核心法）
步骤1：求导定基，判断是否需二次求导
求原函数f(x)的定义域→计算一次导数f’(x)→分析f’(x)的结构，若无法直接判断符号/求零点，立即求二次导数f''(x)。
步骤2：分析二次导数，确定一次导数的单调性
1. 计算f''(x)，化简后判断其恒正/恒负或零点；
2. 若f''(x) > 0（或0，含分式时分母≠0）；
2. 求导错误：复合函数、乘积求导法则用错（如(exlnx)’=exlnx +exx，避免漏项）；
3. 零点判断失误：未验证f’(x)的单调性，直接断言f’(x)无零点，或未用零点存在性定理，主观猜测零点；
4. 含参讨论混乱：未找到参数的临界值（如f''(x)=0的参数解），讨论维度混乱，漏解/重复解；
5. 逻辑断层：二次求导后未明确“f''(x)→f’(x)→f(x)”的推理关系，直接跳过f’(x)分析原函数性质。
题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围
【典型例题1】若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】B
【解析】因为变形令
求导：，令求导
在上为增函数；
令=0，零点满足即，
所以在时，是单减，
在时，是单增的
，再令，
,
所以，，取整数，那么的最大值是4
【典型例题2】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）
【答案】见解析
【解析】：（Ⅰ）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
（Ⅱ）由，得．当时，等价于．
令，则．设 ，则
．
（i）当 时，，则．
记，则.
所以， ．
因此，．
（ii）当时，．
令 ，则，
故在上单调递增，所以．
由（i）得．所以，．
因此．
由（i）（ii）得对任意，，
即对任意，均有．
综上所述，所求a的取值范围是
【变式训练1-1】已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ）
（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B．
【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：；
令时，，化简
你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。
【第二种解法（二次求导）】：
构造 求导，令，即，
再令，在，，在上是单调递减，
设点，在递减；在递增，
所以=，，，
所以m的最大值是2.
【变式训练1-2】已知实数，设函数．（为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（I）由，解得．
= 1 \* GB3 ①若，则当时，，故在内单调递增；
当时，，故在内单调递减．
= 2 \* GB3 ②若，则当时，，故在内单调递增；
当时，，故在内单调递减．
综上所述，在内单调递减，在内单调递增．
（II），即（﹡）．
令，得，则．
当时，不等式（﹡）显然成立，
当时，两边取对数，即恒成立．
令函数，即在内恒成立．
由，得．
故当时，，单调递增；当时，，
单调递减.
因此．
令函数，其中，
则，得，
故当时，，单调递减；当时，，单调
递增．
又，，
故当时，恒成立，因此恒成立，
即当时，对任意的，均有成立
【变式训练1-3】已知函数.
（1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围；
（2）若，证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】见解析
【解析】（1）由，得，即.
令，求导，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以.易知当时，，当时，，
故可作出函数的大致图象，如图所示：
由图象可知，当时，直线与的图象有两个不同的交点，
故当在上有两个不同的实根，实数的取值范围为.
（2）证明：由题知，求导，
令，求导，令，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一的根，
设为，则，从而有两个零点和，
当和时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以存在唯一的极大值点，，且，即.
，
当且仅当，即，故等号不成立，所以.
【变式训练1-4】已知函数.
（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）∵，又函数在区间上为增函数
∴当时，恒成立.∴.
∴的取值范围为.
（2）当时，.故不等式，∴
即对任意恒成立，令，则，
令，（）则，∴在上单增.
又，，
∴存在，使，即当时
即.当时，，即
∴在上单减，在上单增.令，即.
∴，
∴且，即.
题型02： 利用二次求导证明不等式
【典型例题】已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】见解析
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，， .
令
从而当时，，
故所求的范围是[-1,+∞﹚.
(2)由(1)知,,则
①时，；
②.
综上可知，不等式成立.
我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：
【二次求导的巧妙运用】:令.
因 ，
显然当时，，
当时，，在（0,1﹚递减；
当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：，
从而在时递增，，在[ 1,+∞﹚递增，
所以当时，，故成立，原不等式成立.
【变式训练2-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故
即，解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，
当时，
当时，
从而当
【变式训练2-2】已知函数，且．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且 QUOTE e−2