2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题04函数零点问题之分段分析法模型(学生版+解析)

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函数零点问题的分段分析法模型解题，关键在于根据函数的不同表达式或定义域区间，将整体函数拆解为若干子函数段．针对每一段，分析其单调性、极值点、端点值等特性，判断该段内是否存在零点．结合函数连续性及零点存在定理，若某段函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在零点．最终，汇总各段分析结果，确定函数整体零点的个数及位置．此方法有助于化繁为简，高效解决复杂函数的零点问题．
【典型例题】
例1．（2025·高二·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
例2．若方程有根，则的范围即为函数的值域
例3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且，
可构造函数和，
因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；
而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；
可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，
又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：
解得：．
故选：D．
例4．（2025·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，且，
设，则的取值范围即的值域．
，
当时，；当时，；当时，．
∴当时，取最大值，
当时，；当时，，
∴实数的取值范围为．
故选：D．
例5．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．
例6．（2025·广西来宾·模拟预测）已知函数（）图象上存在点M，函数（e为自然对数的底数）图象上存在点N，且M，N关于点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】与函数的图象关于点对称，
的图象上存在点M，图象上存在点N，
使得M，N关于点对称，则方程有解，
显然，所以问题转化为有解，设，
则为增函数，且，所以在上单调递减，
在上单调递增，且时，，
所以，所以实数a的取值范围是．
故选：C
例7．（2025·高二·全国·假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方程有解，原方程两边同除以，然后令，问题变为有解，即有解，引入函数，由导数求出它的最小值，解关于参数的不等式可得的范围．由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
【过关测试】
1．（2025·高三·全国·专题练习）若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，
即，
即设，则，
则条件等价为，
即有解，
设，则为增函数，
∵，
∴当时，，
当时，，
即当时，函数g（t）取得极小值，为，
即，
若有解，
则，即，
则或，
故选：C．
2．（2025·江西·模拟预测）若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先分离参数为，然后换元，设，用导数求得新函数的取值范围．由得，令，则，，
设，则，
时，，递增，，，递减，时．
时，，
所以的取值范围是，即的取值范围是．
故选：D．
3．（2025·河南许昌·三模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】存在两个正实数，使得等式，设，则，设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，故选C．
4．（2025·高三·安徽滁州·期末）若存在两个正实数，使得等式成立其中，是以为底的对数，则实数的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】可化为，
令，则，，
则，令，可得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
故．
故选：C．
5．（2025·高二·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式成立，
，
当时，，不符合题意，所以
令，，，
构造函数，，
其中对数函数在上递增，反比例函数在上递增，
所以在上递增，且，
所以在区间，，单调递减；在区间，，单调递增．
所以的最小值为．
要使有解，
则，①，
当时，①成立；当时，．
所以的取值范围是．
故选：B．
6．（2025·湖北咸宁·一模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（ ）
A．1B．
C．2D．
【答案】D
【解析】由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0，
即1+a（﹣2e）ln=0，
即设t=，则t＞0，
则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，
即（t﹣2e）lnt=﹣有解，
设g（t）=（t﹣2e）lnt，
g′（t）=lnt+1﹣为增函数，
∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，
即g（t）≥g（e）=﹣e，
若（t﹣2e）lnt=﹣有解，a＞0．
则﹣≥﹣e，即≤e，
则a≥，
∴正实数a的最小值为．
故答案为：D
7．（2025·高二·江西·期末）函数 （，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数存在唯一的零点，
等价于函数与函数的图象只有唯一的交点，
因为的最小正周期为 ，最大值为的函数，
所以两个函数图象如下图所示：
要使与函数的图象只有唯一的交点，
则，因为，
所以，
因为，所以 ，
所以，解得： ，又因为，
所以a的取值范围为：
故选：D
8．（2025·辽宁大连·二模）函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
为奇函数
又，知为的零点
若存在唯一的零点，则在上单调递增或单调递减
①若单调递增，则恒成立
即恒成立
，
又
②若单调递减，则恒成立
即恒成立
，，可知不恒成立，不合题意
综上所述：
本题正确选项：
9．（2025·湖南·一模）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，令，即，
设，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
因此当时，，因当时，的取值集合为，的取值集合为，
则当时，的取值集合为，当时，的取值集合为，
的取值集合为，即当时，的取值集合为，
所以函数至少存在一个零点，实数的取值范围是．
故答案为：
10．（2025·高二·天津滨海新·期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由函数，可得，
令，可得，
当时，可得；当时，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数求得极小值，也是最小值，
因为至少1个零点，所以，即，
所以实数的范围．
11．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）已知且，函数在上至少存在一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为函数在上至少存在一个零点，
所以且或 ，
即或 ，
其对应的平面区域如图所示：
或
平移直线，当直线在y轴上的截距最小值时，目标函数取得最大值，此时经过点，最大值为1，
当直线在y轴上的截距最大值时，目标函数取得最小值，此时经过点，最小值为0，
所以的取值范围为，
故答案为：
12．（2025·江苏·二模）若存在正数，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由变量分离得﹣＝（﹣2e）ln＝（t﹣2e）lnt，（令t＝>0），
令h（t）＝（t﹣2e）lnt，（t＞0），
则h（t）＝lnt+ ，h（t）＝+ ＞0，
所以h（t）在t递增，且h′（e）＝0
h（t）在（0，e）上递减，在（e，+）上递增
∴h（t）≥h（e）＝﹣e，∴﹣≥﹣e，解得z＜0或z≥．
∴实数z的取值范围是（﹣∞，0）∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪[，+∞）
13．（2025·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．
∵，，
∴函数与函数的图像的唯一交点为．
又∵，且，，
∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数．
又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，
∴可得函数与函数的大致图像如图所示．
∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则．
∵，，
∴，解得．
对∵，∴实数的取值范围为．
故答案为：．
14．（2025·高二·上海浦东新·阶段练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】转化为有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
令，
则，
令得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
做出大致图像如下：
令，
则原方程转化为，
令，
，
令得，
当时，，当时，，
所以在递减，在递增，
做出大致图像如下：
所以时，对应解出两个值，
从而对应解出四个值，
故答案为：．