吉林省2025八年级数学上册第13章勾股定理学情评估卷（附解析华东师大版）

这是一份吉林省2025八年级数学上册第13章勾股定理学情评估卷（附解析华东师大版），共10页。
第13章 学情评估卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列各组长度的线段不能组成直角三角形的是（ ）A. 3,4,5B. 0.6,0.8,1C. 13,14,15D. 13,5,12【答案】C2．[［2025长春朝阳区期中］]如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ）（第2题）A. 8B. 4C. 2D. 34【答案】C3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，则△ABC是（ ）（第3题）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】B4．若实数m，n满足|m−3|+n−4=0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（ ）A. 5B. 7C. 5或7D. 以上都不对【答案】C5．[［2025长春汽开区月考］]我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.如图，若b−a=2，c=10，则a+b的值为（ ）（第5题）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B6．[［2025吉林丰满区月考］]如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时（即水平距离CD=8m），踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）A. 10mB. 9mC. 8mD. 6m【答案】A7．如图，在长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E为边CD上一点，将△BCE沿BE翻折后，点C恰好落在边AD上的点F处，则CE=（ ）（第7题）A. 2B. 43C. 53D. 1【答案】C8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，AC=6，AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+NM的最小值是（ ）（第8题）A. 4B. 4.8C. 5D. 6【答案】B二、填空题（每题3分，共18分）9．用反证法证明“若一个三角形没有两个相等的角，则此三角形不是等腰三角形”的第一步是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】假设“没有两个相等的角的三角形是等腰三角形”10．若直角三角形较短的直角边为3，斜边比较短的直角边多2，则这个三角形的周长为.【答案】1211．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，一只蚂蚁从点A爬行到点B，设爬行的最短路线长为a，则a2的值是_ _ .（第11题）【答案】10012．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连结AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径作弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是_ _ _ _ _ _ .（第12题）【答案】5−1 13．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC=600m，BA=800m，AC=1000m，现需修建一条路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .（第13题）【答案】480m 14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离PP′=_ _ _ _ ，∠APB=_ _ ​∘ .（第14题）【答案】6； 150三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）在△ABC中，∠C=90∘ ，BC:AB=3:5，且AB=20cm，求边AC的长.解：设BC=3xcm，则AB=5xcm.∵AB=20cm，∴5x=20，解得x=4，∴BC=12cm.在△ABC中，∵∠C=90∘ ，∴AC=AB2−BC2=202−122=16(cm).16．（6分）如图，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20，求AC的长.解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=12BC=10.又∵AD=24,AB=26,∴AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形，且AD⊥BC，∴AC=AB=26.17．（6分）如图，某船从港口A出发沿南偏东32∘ 方向航行12nmile到达B岛，然后沿某方向航行16nmile到达C岛，最后沿某方向航行20nmile回到港口A，试说明该船从B到C是沿哪个方向航行的.解：由题意得AB=12nmile，BC=16nmile，AC=20nmile，∴AB2+BC2=122+162=400=202=AC2，∴∠ABC=90∘ .如图，由题易知∠1=32∘ ，∴∠2=180∘−∠ABC−∠1=58∘ ，∴ 该船从B到C是沿南偏西58∘ 方向航行的.18．（7分）如图所示，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D为边AC上一点，连结BD，作点A关于直线BD的对称点E，使点E恰好落在BC的延长线上.（1） 判断△ABC的形状，并说明理由；（2） 求△CED的面积.【答案】（1） 解：△ABC为直角三角形.理由如下：∵AB=10，BC=6，AC=8，∴BC2+AC2=62+82=100，AB2=102=100，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.（2） 由轴对称的性质易得BE=AB=10，AD=ED，∴EC=BE−BC=10−6=4，设CD=x，则ED=AD=8−x，由（1）可得∠ACB=90∘ ，∴∠ECD=90∘ ，∴EC2+CD2=ED2，即42+x2=(8−x)2，解得x=3，即CD=3，∴S△CED=12×EC×CD=12×4×3=6.19．[［2025长春汽开区期末］]（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法.（1） 在图①中找一格点B，连结AB，使线段AB=5；（2） 在图②中画出等腰三角形ACD，点C、D在格点上，使∠A为顶角且S△ACD=2；（3） 在图③中画出等腰三角形AEF，点E、F在格点上，使∠A为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_ _ _ _ _ _ .【答案】（1） 解：如图①所示，点B即为所求.（答案不唯一）（2） 如图②所示，△ACD即为所求.（答案不唯一）（3） 72；如图③所示，【解析】（3） △AEF即为所求.7220．（7分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，求A1C的高度和这块木板的长度.解：根据题意，得BC=0.7m，BB1=1.3m，AA1=0.9m.设A1C=xm.在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，易知∠ACB=90∘ ，∴AB2=AC2+BC2，A1B12=A1C2+B1C2.∵AB=A1B1，∴AC2+BC2=A1C2+B1C2，即(0.9+x)2+0.72=x2+(1.3+0.7)2，解得x=1.5.∴AB=(0.9+1.5)2+0.72=2.5(m).∴A1C的高度为1.5m，这块木板的长度为2.5m.21．（8分）如图，一条绳子下端系着一艘小船，CD为垂直于水面的河岸，小明在河岸上拽着绳端向后退，绳端从点C平移到点E，同时小船从A平移到B，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变.（1） AC _ _ _ _ BC+CE（填“> ”“< ”或“=”）；（2） 若CF=5米，AF=12米，AB=8米，求小明向后移动的距离.【答案】（1） =（2） 解：在Rt△CFA中，由勾股定理得AC=AF2+CF2=122+52=13（米）.∵AB=8米，∴BF=AF−AB=4米.在Rt△CFB中，由勾股定理得BC=CF2+BF2=52+42=41（米），由（1）知AC=BC+CE，∴CE=AC−BC=(13−41)米，即小明向后移动了(13−41)米.22．[［2025长春南关区］]（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=90∘ ，AC=13，AB=5，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A−C−B运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1） BC的长度为；（2） 当t=5时，求AP的长；（3） 若点P在∠BAC的平分线上，求t的值.【答案】（1） 12（2） 解：如图①所示，当t=5时，由题意得BP=AC+BC−3×5=13+12−3×5=10.在Rt△ABP中，AP=BP2+AB2=102+52=125.（3） 当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，如图②所示，则∠PEA=∠PEC=90∘ .∵AP平分∠BAC，∠B=90∘ ，∴PB=PE.又∵PA=PA，∴Rt△ABP≌Rt△AEP(HL)，∴EA=BA=5，∴CE=AC−AE=13−5=8.由题意得PE=BP=AC+BC−3t=13+12−3t=25−3t，∴CP=12−(25−3t)=3t−13.在Rt△CEP中，CP2=CE2+EP2，即(3t−13)2=82+(25−3t)2，解得t=659，∴ 点P在∠BAC的平分线上时，t=659.23．（10分）如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=6，DM=1.（1） ① 当A，D，M三点在同一直线上时，AM的长为_ _ _ _ _ _ _ _ ；② 当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2） 若摆动臂AD顺时针旋转90∘ ，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图②，此时∠AD2C=135∘ ，CD2=7，求BD2的长.【答案】① 7或5② 当∠AMD为直角时，AM2=AD2−DM2=62−12=35，∴AM=35；当∠ADM为直角时，AM2=AD2+DM2=62+12=37，∴AM=37.综上，AM的长为35或37.（2） 解：连结CD1，由题意得∠D1AD2=90∘ ，AD1=AD2=6，∴∠AD2D1=45∘ ，D1D22=72.又∵∠AD2C=135∘ ，∴∠CD2D1=90∘ ，∴CD1=CD22+D1D22=11.∵∠BAC=∠D2AD1=90∘ ，∴∠BAC−∠CAD2=∠D2AD1−∠CAD2，即∠BAD2=∠CAD1.又∵AB=AC，AD2=AD1，∴△ABD2≌△ACD1，∴BD2=CD1=11.24．（12分）【项目背景】监控器的有效监测距离为500m，最大旋转角度为90∘ .村落、河流如图①所示，河流南岸长5000m.监控布设线l距离河流南岸300m，l上任意两个监控(M1,M2,⋯)之间的距离相等.【项目方案】（1） 方案1：如图①所示，从河流南岸边缘A点处起，使AM1=500m，BM1⊥AB，即AB为监控器M1的监测范围.以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？（2） 方案2：如图②所示，AB为监控器M1的监测范围，BC为监控器M2的监测范围，AM1⊥BM1，BM2⊥CM2，此时BM1=CM2=375m，至少需要布设多少监控器？（3） 【项目总结】我认为方案_ _ _ _ 是最优化方案.【答案】（1） 解：在Rt△ABM1中，AB=AM12−BM12=5002−3002=400(m).∵ 河流的长度是5000m，而5000÷400=12.5，∴ 至少要布设13个监控.（2） 过M1作M1N⊥AB于点N，则M1N=300m.在Rt△M1NB中，BN=BM12−M1N2=3752−3002=225(m)，设AN=xm，则AB=AN+BN=(x+225)m，在Rt△AM1N中，AM12=AN2+M1N2=x2+3002，在Rt△AM1B中，AM12=AB2−M1B2=(x+225)2−3752，∴x2+3002=(x+225)2−3752，解得x=400，则AM1=3002+4002=500(m)，符合题意，∴AB=AN+BN=400+225=625(m).∵5000÷625=8，∴ 至少需要布设8个监控器.（3） 2