第13章 勾股定理（单元复习课件）-2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版）

单元复习课件 第十三章 勾股定理 华东师大版2024·七年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1. 熟练掌握勾股定理及其逆定理的内容，清晰它们的作用，理解它们之间的互逆关系并能正确区分两个定理；掌握反证法的解题思路，会用反证法证明简单的几何命题3. 通过梳理勾股定理与其逆定理之间的关系体会数形结合思想，在图形文化再回顾的过程中体会图形结构与特殊数量关系之间的联系，在求解三角形的问题中感悟转化思想2. 能熟练运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题，能运用勾股定理列方程，能运用勾股定理的逆定理进行直角三角形（直角）的判定，并能熟记勾股数以便快速计算直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理反证法勾股定理的无字证明—赵爽弦图应 用勾股定理勾股定理的逆定理互逆定理勾股定理一. 勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：2.勾股定理的证明赵爽弦图S大正方形=c2 化简结果，得c2=a2+b2. 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想一 勾股定理我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.2.勾股定理的证明一.勾股定理毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法重新组合  ∵S左=S右∴a2+b2=c2加菲尔德：梯形面积法题设：Rt△ABC≌Rt△CDE易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 化简得：a2+b2=c22.勾股定理的证明一.勾股定理3.其他常见面勾股定理无字证明方法一.勾股定理二.勾股定理逆定理2．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数．[注意] 勾股数都是正整数．正整正整如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.1.勾股定理逆定理 1.勾股定理与勾股定理的逆定理的关系ACBbcaa2+b2=c2数形勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形的性质直角三角形的判定是互逆定理.三、直角三角形的判定三、直角三角形的判定3. 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出 a2＋b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2＋b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．2.判定一个三角形是直角三角形方法⑴有一个内角为直角的三角形是直角三角形.⑵两个内角互余的三角形是直角三角形.⑶如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.四. 反 证 法1.反证法①反设：先假设结论的反面是正确的；②推出矛盾：然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；③得出结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．这样的证明方法叫“反证法”.2.证明思路：3.反证法的一般步骤：反设1.假设命题结论的反面成立；2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾；归谬3.假设不成立即原结论正确；结论四. 反 证 法 4.一些常见的关键词的否定形式.  不是不都是不大于 不小于一个也没有至少有两个至多有（n - 1)个至少有（n + 1)个存在某个 x 不成立存在某个 x 成立不等于某个四. 反 证 法（2）在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则a= , c= .题型一、勾股定理计算例1.（1）如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ， AB＝x ，AC=8-x，则AB= , AC= .351630  例2.已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．题型一、勾股定理计算  题型一、勾股定理计算   解： CD⊥AB于D ，由勾股定理得   例4.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12求证： △ABC是等腰三角形. 题型一、勾股定理计算 题型二、勾股定理逆定理判直角三角形例5. 如图，一块铁（图中阴影部分），测得AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°，求阴影部分的面积.又∵AC2+AD2=52+122=169=132，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形,∠CAD=90°.S阴影=S△CAD-S△ABC =24 例6.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（　　）Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF 解： 设小正方形边长为1，由勾股定理得     由勾股定理逆定理得：构成直角三角形三边AB,EF,GHＢ题型二、勾股定理逆定理判直角三角形例7.如图，在Rt △A BC中，AC=BC,P为△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=2，求∠APC的度数.题型二、勾股定理逆定理判直角三角形P′解：将PC绕C点旋转90°到CP′，连结CP′得到△CP′B∴ △APC≌△CP′B∴ AP=P′B=1，PC=P′C=2，由旋转得：∠ PCP′=90° ∵P′B=1  ∵PB=3∴∠ CPP′==45° ∴∠ PP′B=90°∠APC= ∠BP′C∴∠BP′C= ∠ CPP′+∠ PP′B =90°+ 45°=135°∵AC=BC，∠ ACB=90°题型三、勾股数例8. 已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形．解：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1， ∴ a2＋b2＝c2，∴可以判定△ABC 是直角三角形． 例9.（1）在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，试求此直角三角形的周长.题型三、勾股数 （2）在直角三角形中，一条直角边为质数a（a＞2），另外一条直角边为b，斜边为c，且a,b,c是勾股数，试用a的代数式表示b,c  利用质数a（a＞2）可构造勾股数 题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用 常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”，把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，对于有多种情况的需要注意分类讨论．1.勾股定理解决立体图形的最短路径类问题：例10.（24-25八年级下•四川自贡•期中）如图，圆柱的高为 12cm，底面圆的周长为 18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用1.勾股定理解决立体图形的最短路径类问题：例11.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10, 求BE的长. 2．解决折叠的问题.题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用例12.如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思考】1.已知哪些条件？ 2.需要解决的问题是什么？速度已知时间已知距离已知其中一艘船的航向已知求另一艘船的航向题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用3．实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型解：根据题意，PQ = 16×1.5 = 24，PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.因为 242 + 182 = 302，即PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.∠1 = 45°.因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.例12.如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用3．实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．10 米C例13.如图，一架云梯 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动 （　 ）  题型四 勾股定理及其逆定理的实际应用1.以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形 的有（ ） ① 5，12，13； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个B2.如图，一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点（1）请你帮它确定一条最短的路线，并说明理由.（2）正方体的棱长为 3 cm，最短距离是多少？解：（1）如图所示，昆虫沿着A—E—C′的路径爬行路线最短. 理由是“两点之间线段最短”. 3.一个直角三角形的两条边长分别是6 cm和8 cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?  注意 ：当直角三角形两条没有说明斜边或直角边时要分类讨论4.△ABC中，如三边长a，b，c分别为：a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn，其中m、n为正整数，且m＞n，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？     ∴△ABC是直角三角形5.在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线AD =12. 求 AC. 6.如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 7.用反证法证明“若a2 ≠ b2，则 a ≠ b”的第一步是　 .8.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　 　　 　 .　假设 a = b假设这个三角形是等腰三角形9.否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）A. a，b，c 都是奇数 B. a，b，c 都是偶数C. a，b，c 中至少有两个偶数 D. a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 D10.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对A3.反证法是从反面的角度着手的间接证明方法，即肯定条件而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.反证法是数学中常用的证明方法.当命题从正面不容易或不能得到证明时，就可以考虑运用反证法.1.本章研究了揭示直角三角形三边之间关系的勾股定理和勾股定理的逆定理.勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥拉斯定理，早在几千年前，我国古代劳动人民就已经发现并开始应用勾股定理了，勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用了直角三角形面积与正方形面积的关系，数形结合，直观、简洁，体现了我国古代几何学的思想方法2.如果知道了直角三角形任意两边的长，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长;如果知道了一个三角形三边的长，也可以利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形，勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要应用.复习题A组1.求下列各图形着色部分的面积：(1)如图①，着色部分是正方形；(2)如图②，着色部分是长方形；12cm13cm15cm8cm3cm①②S=132-122=25(cm2).教材P140(3)如图③，着色部分是半圆（保留π）.6cm10cm复习题A组教材P1402.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系.解：以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积． 同理可得：    复习题A组教材P1403.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形：(1)三边长分别为m2+n2、mn、m2−n2(m>n>0)；解：(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，(mn)2+(m2−n2)2=m2n2+m4−2m2n2+n4=m4−m2n2+n4，故(m2+n2)2≠(mn)2+(m2−n2)2，∴该三角形不是直角三角形.  复习题A组教材P1404.一架2.5m长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙0.7m，如果梯子的顶部滑下0.4m，梯子的底部向外滑出多远？ 复习题A组教材P1415.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和.解：SA+SB+SC+SD =SE+SF =SG=72=49(cm2).ABCDEFG复习题A组教材P1416.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2.求BD的长. ABDC∟复习题A组教材P1417.已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm. 求这个三角形的面积. 复习题B组教材P1418.如图，有一块四边形地ABCD，∠B=∠90°. AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m. 求该四边形地的面积.AC2+CD2=52+122=132=AD2，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°，所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC答：这块四边形地的面积是36m2. 复习题B组教材P1419.我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数.请你再写出其他5组勾股数.解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一).复习题B组教材P14110.试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角.证明：假设一个五边形中存在4个内角为锐角，不妨设∠A, ∠B， ∠ C， ∠ D 均为锐角，∴ ∠A+ ∠B+ ∠ C+∠ D＜360° ∠A+ ∠B+ ∠ C+∠ D +∠E=（5-2）×180°=540°（多边形内角和定理）∴ ∠E=540-（ ∠A+ ∠B+ ∠ C+∠ D ）＞180°这与五边形的每一个内角都小于180°相矛盾，故假设不成立.即一个五边形不可能有4个内角为锐角.复习题B组教材P14111.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小.解：连接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°， 在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2，∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.复习题B组教材P14112.如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=5cm，△ABC的面积为30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称.求AE的长.又∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，∴AE=AC=13cm.复习题C组教材P14213.已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4−b4+b2c2−a2c2=0.试判断△ABC的形状.解：∵a4−b4+b2c2−a2c2=0， ∴(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2−b2)=0. ∴(a2−b2)(a2+b2−c2)=0.①当a2−b2=0时，得a=b，故△ABC是等腰三角形； ②当a2+b2−c2=0时，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形. 综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形.复习题C组教材P14214.试着用反证法证明勾股定理的逆定理.解：假设一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2，那么这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，这与已知a2+b2≠c2矛盾，所以假设不成立.所以三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，所以勾股定理的逆定理成立.复习题C组教材P14215.欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由Rt△ABC的三边分别向外作正方形，过点C作AB的垂线，分别交AB、ED于点J和点K，这样就把正方形ABDE分成两个长方形AJKE和BDKJ．连结GB、CE. 请试着利用该图形证明勾股定理.证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG均为正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°.∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠EAC=∠BAG.∴△AEC≌△ABG(SAS). ∴S△AEC=S△ABG.又∵2S△AEC=S四边形AEKJ，2S△ABG=S正方形ACFG=AC2，∴S四边形AEKJ=S正方形ACFG=AC2.同理得S四边形BDKJ=BC2.又∵S正方形ABDE=S四边形AEKJ+S四边形BDKJ=AB2，∴AC2+BC2=AB2.15. 请试着利用该图形证明勾股定理.复习题C组教材P142复习题C组教材P14216.折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远. 求折断后竹子离地面的高度.解：如图，AB+AC=1丈=10尺，BC=3尺.设AC=x尺，则AB=(10−x)尺.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2−AC2=BC2，即(10−x)2−x2=9，解得x=4.55.答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺.感谢聆听!