广东省珠海市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写
在答题卡上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如雷改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如雷改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
1. 已知样本数据 5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第 60 百分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的概念求解.
【详解】因为： ，
所以样本数据 5，6，6，6，8，9，10，11 的第 60 百分位数是第 5 个数为 8.
故选：C
2. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 和 的夹角为 ，根据投影向量的定义直接求解即可.
【详解】令 和 的夹角为 ，
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则 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
3. 已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由 可求出 的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】若 则 且 所以 或
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
4. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理将 与 用基底 表示出来，然后利用数量积的定义求
解即可.
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【详解】由条件可知， ，
，
，
，
，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A
5. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子， 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， 表示事件“第一次抛掷
骰子的点数为 ”， 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为 ”， 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为
”，则（ ）．
A. 与 为对立事件 B. 与 为相互独立事件
C. 与 为相互独立事件 D. 与 为互斥事件
【答案】B
【解析】
【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相
互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即 .
【详解】对于 A， ，所以 与 不为对立事件．
对于 B， ， ， ，相互独立．
对于 C， ， ， ，不相互独立．
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对于 D，事件 为 ，所以 与 不为互斥事件．
故选：B.
6. 已知圆 .若 为直线 上的动点， 是圆 上的动点，定点
，则 的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出点 关于直线 的对称点 的坐标，进而可得
，由此即可得解.
【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 、 、 、 四点共线（ 点在 、 两点之间）时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】结论点睛：若点 是半径为 的圆 外的一点，则点 到圆 的上一点的距离 的取值范围是
.
7. 在正三棱锥 中， ，点 为空间中的一点，则 的最小
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值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记 的重心为 ，点 是 的中点，点 是 的中点，进而求得 ，利用空间向
量加减、数乘的几何意义，将 化为 ，数形结合求最小值.
【详解】记 重心为 ，点 是 的中点，点 是 的中点，
在正三棱锥 中 ，所以 ，
平面 ，又 平面 ，所以 ，则 .
又 ，
所以
，
所以当 与 重合时， 取最小值 0，
此时 有最小值 .
故选：C
8. 在平面直角坐标系 中，直线 与 分别切于点 ，与 轴分别交于点
.若 的周长为 ，则满足题意的点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过切线长定理转化边长可得 的周长为 ，利用两点间距离公式可得点 坐标.
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【详解】如图，连接 ，则 .
由题意得，圆心 ，圆 与 轴相切于点 .
∵ 与 分别切于点 ，∴ ，
∴ 的周长为：
，
∴ ，即 ，
代入选项可得点 的坐标为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用切线长定理转化边长，借助勾股定理建立关于 的等量关
系，代入选项可求出点 坐标.
二、多选题（每题 6 分，共 18 分）
9. 有一组样本数据 ， ，…， ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 ， ， ， ，由这组
数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 （ ，2，…，n 且 ），其平均数、中位
数、方差、极差分别记为 ， ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，根据中位数的定义讨论即可判断；对于 B，由方差的性质即可判断；对于 C，由极差的定
义判断即可；对于 D，由方差、平均数的定义验算即可.
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【详解】对于 A，设 ， ，…， 已经从小到大排列好了，
则 ， ，…， 是从小到大排列的或从大到小排列的，
若 是偶数，则 ，
而无论如何最中间两个数总是 ，
，
若 是奇数，则 ，
而无论如何最中间的数总是 ，所以 ，
所以 ，
对于 B，由方差的性质可得， ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，
当 时， ，故 C 错误；
对于 D， ，
所以 ，故 D 正确
故选：ABD.
10. 在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ，
，则（ ）
A. 当 时， 的周长为定值
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得
D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】BD
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【解析】
【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于 B，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于 C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数；
对于 D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数．
【详解】
易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于 A，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故
A 错误；
对于 B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ，
平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确．
对于 C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所
以 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ，
，则 ， ， ，所以 或
．故 均满足，故 C 错误；
对于 D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点
轨迹为线段 ．设 ，因为 ，所以 ，
，所以 ，此时 与 重合，故 D 正确．
故选：BD．
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【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 曲线 恰好经过 9 个竖点（即横、纵坐标均为整数的点）
B. 曲线 夹在直线 和直线 之间
C. 曲线 所围成区域面积是 所围成区域面积的 5 倍
D. 曲线 上任意两点距离都不超过
【答案】AB
【解析】
【分析】A 选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出 表示的图形，找到 9 个整点，A
正确；B 选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出 表示的图象，得到 B 正确；C 选项，
在 A 选项的基础上，求出 和 表示的图形可以分解为一个正方形和四
个半圆，求出所围成的区域面积，得到 C 正确；D 选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出
的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出 ，D 错误.
【详解】A 选项， ， ，有 ，
， ，有 ，
， 时，有 ，
， 时， ，
画出图形，如下：
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经过的整点有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 个，故
A 正确；
B 选项，曲线 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
画出图形，如下：
其中 ， ，
故 ，则 ，
故曲线 由四个弓形组成，弓形的弓高为 ，
是夹在直线 和直线 之间，又因为 ， ，故 B 正确.
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C 选项，由 A 选项知， 表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为 ，半圆半径为 ，故其面积为 ，
同理，曲线 也可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为 ，半圆半径为 ，其面积为 ，
所围成区域面积为 所围成的区域面积的 9 倍，C 错误；
D 选项，当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
画出图形，如下：
连接两圆心 并延长，分别与两圆交于 ，
则 ，D 错误.
故选：AB
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
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12. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 和 ，则该题被攻克的概率为______．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解.
【详解】由题意，该题被攻克的概率为 .
故答案为： .
13. 已知点 ， ， ，点 满足 ，则 的最小值
为______.
【答案】209
【解析】
【分析】设点 ，用坐标表示 ，代入等式 ，整理即得点 P 的轨迹方程；再用坐
标表示出 ，根据点 P 纵坐标 y 的取值范围即可求解.
【详解】设 ，由 ，得 ，化简得 ，
的轨迹是以原点 为圆心，3 为半径的圆.
，
， 当 时， 的最小值是 209.
故答案为：209.
14. 棱长为 4 的正方体 中， 分别是平面 和平面 内动点， ，则
的最小值为_________．
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【答案】
【解析】
【分析】取点 关于平面 的对称点为 ，设点 到平面 的距离为 ，可得
，以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直
角坐标系，利用向量法求出点 到平面 的距离即可求解.
【详解】取点 关于平面 的对称点为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为 4，且 ，
所以 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，则 ，
所以点 到平面 的距离 .
即 的最小值为 .
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故答案为： .
【点睛】方法点睛：处理空间几何体中的距离之和的最值问题的方法：
（1）借助参数表达，转化 函数最值求解；
（2）利用展开图，将空间距离之和转化为平面距离之和，再利用两点之间线段最短求解；
（3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为两点间的距离（点线距、点面距）求解.
四、解答题（5 道小题，共 77 分）
15. 如图，在三棱锥 中， 平面 分别是棱 的中点，
.
（1）求点 到直线 的距离
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线 的方向向量和 在 上的投影长，利用点到直
线公式，即可求出点 到直线 的距离；
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(2)先求出平面 的法向量，再利用向量法可求出点 到平面 的距离．
【小问 1 详解】
由题可知 两两相互垂直，
如图，以 为原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，
又 分别是棱 的中点， ，得
因为
所以 在 上的投影长为
所以点 到直线 的距离为
【小问 2 详解】
由 知， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
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所以点 到平面 的距离为 .
16. 将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在 ，第二组成绩在
，第三组成绩在 ，第四组成绩在 第五组成绩在
（1）求图中 的值，估计本次考试成绩的平均分；
（2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前 的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数
线；
（3）若本次考试共 20 人参加，现计划从分数低于 70 分的同学中随机抽取 2 人谈心，求 2 人分数都在
的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为 1 即可求得 ，利用频率分布直方图平均分的计算方法可
求得平均分的估计值；
（2）根据频率分布直方图的百分位数的求法即可求解；
（3）先求得 和低于 70 分的人数，利用枚举法求得总的取法，及 2 人分数都在 的取法，利
用古典概型概率公式即可求解.
【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 ；
本次成绩平均分的估计值为 ；
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【小问 2 详解】
老师准备将在本次考试中成绩排名在前 的同学，定为成绩优秀，故求第 分位数的分数即可，
，
故 分位数在 内，故第 分位数的分数为 分，
故此次考试成绩优秀的分数线为 分.
【小问 3 详解】
低于 70 分的同学的频率为 ，所以低于 70 分的同学应抽取 人，
其中成绩在 的人数为 人，
记这 5 人为 ，其中 为成绩在 的两位同学，
从中任取两人有 共 10 种取法，
其中 2 人分数都在 的取法有 1 种，
所以 2 人分数都在 的概率为 .
17. 在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 .
（1）在圆 上是否存在点 ，使得 成立？若存在，求点 的个数；若不存在，说明理由；
（2）设点 是圆 外一点，过点 作圆 的两条切线 和 ，切点分别是 和 ，求 的最
小值；
（3）对于线段 上的任意一点 ，若在以点 为圆心的圆上都存在不同的两点 ，使得点 是线
段 的中点，求圆 的半径 的取值范围.
【答案】（1）存在，点 的个数为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到点 在圆 和圆 上，将问题转化成两圆的位置
关系，再利用圆与圆位置关系的判断方法，即可求解；
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（2）作出符合题意的图形，利用切线的性质与二倍角公式得到 ，结合平面向量数量积
的定义得到 ，最后利用换元法结合基本不等式求解最值即可.
（3）设点 ，易得两圆有公共点，转化为 对
恒成立，可得 恒成立，得 ，解出 可得答案．
【小问 1 详解】
由 配方得 ，可知其圆心为 ，半径为 ，
假设圆 上存在点 ，由 ，可得
，
即动点 的轨迹是以 为圆心，半径为 2 的圆.
因为 ，
则圆 与圆 相交，故点 的个数为 .
【小问 2 详解】
如图，作出符合题意的图形，
由切线性质可得 ， ，且设 ，
由勾股定理得 ，且 平分 ，
在 中， ，则 ，
于是，
令 ，得到
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，
当且仅当 时，即 时取等，故 的最小值为 .
【小问 3 详解】
如图，设点 ，
由于点 是线段 的中点，则 ，
又 都在半径为 的圆 上
即得 ，也即 ，
由方程组有解，即以 为圆心， 为半径的圆与以 为圆心， 为半径的圆有公共点，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
又由 可得 ，
故 且 ，解得 ，
所以 的半径 的取值范围为 ．
18. 如图，已知四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是等边三角形，
， ，二面角 的大小为 ， ， 分别为 和 的中点.
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（1）求证 平面
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）设 为侧棱 上一点，四边形 是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于 ， 两点，
且 平面 ，是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ?若存在，求
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，根据平行关系可得 ，进而可证线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，再求平面 的法向量，进而可得线面夹角；
（3）设 ，根据面面夹角可得 ，设 ，结合线面平行运
算求解即可
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ， ， ，
在 中， ， 分别为 和 的中点，
所以 且长为 的一半，
又因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，可得 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 .
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【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，由 ，则 ，
分别以 ， 所在直线为 轴和 轴，以过 垂直于底面的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量，
又 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，由 ，
则 ，
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令 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 夹角为 ，由（2）可知平面 的法向量 ，
由题意可得 ，
令 ，则 ，得 ，所以 ，
当 时， （舍去），所以当 时， ，此时 ，
设 ，则 ，
又因为平面 法向量 ，
则 ，解得 ，
所以存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，此时 .
19. 平面直角坐标系中，圆 M 经过点 ， ， .
（1）求圆 M 的标准方程；
（2）设 ，过点 D 作直线 ，交圆 M 于 PQ 两点，PQ 不在 y 轴上.
①过点 D 作与直线 垂直的直线 ，交圆 M 于 EF 两点，记四边形 的面积为 S，求 S 的最大值；
②设直线 OP，BQ 相交于点 N，试证明点 N 在定直线上，求出该直线方程.
【答案】（1）
（2）①S 的最大值为 7；②证明见解析，点 N 在定直线 上.
【解析】
【分析】（1）设圆 M 的方程为 ，利用待定系数法求出 ，即可得解；
（2）①设直线 的方程为 ，分 和 两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出
，再根据 即可得出答案；
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②设 ，联立 ，利用韦达定理求得 ，求出直线 OP，BQ
的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.
【小问 1 详解】
解：设圆 M 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以圆 M 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
①若 ，则直线 斜率不存在，
则 ， ，则 ，
若 ，则直线 得方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
则
第 23页/共 25页
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
综上所述，因为 ，所以 S 的最大值为 7；
②设 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
则 ，
所以 ，
所以点 N 在定直线 上.
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【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.