广东省珠海市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A. 9或1B. 1C. 9D. 9或2
4. 为加强学生身体健康，惠州一中对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.7，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算机产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2表示没有及格，3，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（ ）
A. 0.65B. 0.7C. 0.75D. 0.8
5. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知实数，满足方程，则下列说法不正确的个数（ ）
①的最大值为 ②的最大值为
③的最大值为 ④的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（ ）
A B. C. 14D. 16
8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 以下选项正确的是（ ）
A. 在空间直角坐标系中，，点到直线的距离为
B. 若，则在方向上的投影向量为
C. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥
D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率相等
10. 已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.
A. B. 最小C. D.
11. 已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A. 双曲线的焦距之比为
B. 双曲线的离心率相同，渐近线也相同
C. 过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点
D. 斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为___________．
13. 如下一列数据中，，对于，正整数出现了次，则这一列数据的中位数是___________．
14. ，，有零点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆方程；
（2）过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程.
17. 为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图：
（1）分别求出频率分布直方图中的；
（2）求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）；
（3）若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率．
18. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值．
19. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为坐标原点，点是椭圆上任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值；
（3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积最小值．