广东省六校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省六校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
3．已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3B．或4C．或5D．或2
5．设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（ ）

A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
二、多选题
9．以下命题中，正确的有（ ）
A．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
B．对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面
C．直线的方向向量可以是
D．直线与直线垂直，则
10．若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ）

A．若点为线段上的动点，当时，
B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为
C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为
D．若，则点的轨迹的长度为
三、填空题
12．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是 .
13．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ．
14．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 （用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为.
(1)求的中垂线的一般方程；
(2)求底边的另一个端点的轨迹.
16．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离.
17．已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，，.
(1)证明：；
(2)若点，，，都在半径为的球的表面上.
（i）求；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
19．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，.
(1)求椭圆的方程；
(2)试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；
(3)若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标，
故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数，
故所求点坐标为.
故选：B.
2．C
【详解】，即，圆心，半径，
，圆心为，，
，故两圆外切.
故选：C.
3．C
【详解】向量，，
则，，
所以向量 在向量上的投影向量为.
故选：C.
4．A
【详解】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
5．A
【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知，
因为过的直线交椭圆于A，B两点，
所以由椭圆的定义知：，
所以，
当轴时，最小，的值最大，
此时为椭圆的通径，由通径公式可得：
所以，解得：，所以，，
故选：A
6．A
【详解】如图所示，易知，所以结合已知有，
易知，
设正方形边长为2，所以，
,
故选：A.
7．D
【详解】依题意得，半径，设点坐标为，
直线恒过点，直线恒过点，
因为，所以，则，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，，
故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中，
若点为弦的中点，位置关系如图：
，连接，由，易知，
故点在以为圆心，半径为1的圆上，
，直线为，
联立与得或（舍去），
又点为圆上的点，，
此时.
故选：D
8．B
【详解】对于A：因为，由定义知，故A正确；
对于B：点在上，
则，化简得，
所以，即，，故B错误；
对于C：椭圆的焦点恰好为与，
则，又，所以，
故，
所以，C正确；
对于D：设，则，因为，则，
又，所以，化简得，
解得或（舍去），则，
因为，所以，因此，故，所以，故D正确.
故选：B.
9．AB
【详解】对于A，已知是空间的一个基底，故三个向量不共面，
已知，假设共面，则存在实数，使得，
即，整理得，
由于不共面，因此系数必须全为0，
则，显然矛盾，因此不共面，因此也是空间的一个基底，故A正确；
对于B，对空间任意一点和不共线的三点，，，
若四点共面，可设，其中，
则，
可得，
由于，且， 可知四点共面，故B正确；
对于C：若直线的方向向量为，则其斜率为，
而直线的斜率为，故C错误；
对于D：由，得，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【详解】如图：是以为圆心，1为半径的圆.
对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是，故，
即，故A正确；
对于B，由知，，
当且仅当，或，时取“”，故B正确；
对于C，设，则直线与圆有公共点，
所以，解得，
所以，故C错误；
对于D，，
圆上的点到直线的距离的5倍的最大值等于圆心到直线的距离加半径的5倍，即，故D正确.
故选：.
11．ACD
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：

则，
对于AB选项，由知：
，
则，
，A正确；
，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
故平面的一个法向量为，
又，则点到平面的距离为：
，故B错误；
对于C，取的中点，
连接，
如图所示，

因为正方体的棱长为2，
所以，，，
平面，平面，平面，
所以，，
，
所以，，
所以，，
由可得平面，
所以，所以点的轨迹为线段，
又，
所以面积的最大值:
，故C正确；
对于D，平面，平面，
所以，都是直角三角形.
又，
所以，
因为，所以，
在侧面中以点为坐标原点，
以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，设，
则，
整理得到，圆，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上，
又因为在侧面（含边界）上运动，
所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点），
因为，，
所以，
则点的轨迹长度为，故D正确，
故选：ACD.
12．3（或，只需填写一个答案即可）
【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为
，
因为直线与圆相交
所以，解得，
所以整数的所有可能取值为.
故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.
13．
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
14．
【详解】因为椭圆，其离心率，则，所以，
故该椭圆的蒙日圆方程为，其半径为，
由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，
故椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为；.
若，则椭圆的方程为，即，蒙日圆方程为，
不妨设，因为其在蒙日圆上，所以，设，，
又，由蒙日圆的性质，，与椭圆相切，、分别为切点，
故直线的方程为，直线的方程为，
将代入，的直线方程中可得，
所以直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，
消去得，则有，，
所以
.
，，即，，故.
故答案为：；.
15．(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）因为,，则中点为，
则，，
的方程为：，即.
（2）设底边的另一个端点的坐标为，
为等腰三角形，，
则，又,，
，
又，，不能共线，所以去掉和这两个点，
∴点的轨迹方程为：，（去掉点和）.
即点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，，，以为空间一组基底，
，，
则，即且，所以四边形为平行四边形.
（2）由题意可知，，，，，
由（1）可知，为平行四边形，为的中点，
则，
则.
，
则点到直线的距离为，
则点到直线的距离为.
17．(1)；
(2)证明见解析；；
(3).
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
（2）证明：设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积
.
所以P到两条渐近线的距离之积为定值，即定值为.
（3）由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，，
因此
或，
函数对称轴为，
于是在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以当时，取得最小值为.
18．(1)证明见解析
(2)（i）（ii）
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，
过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，.
（i）设球心，，
由，得，
解得，，.
由（1）知平面，所以设，
由，，得，，
解得，，，
则.
（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，得，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为，
则，整理得，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）
设椭圆上，两点关于直线对称，
设的中点为，则.
因为点在椭圆上，所以，两式相减得，
又因为，所以即，所以，
又因为点在直线上，所以，即，所以.
因为点在椭圆内部，所以，
得，即.
所以的取值范围为.
（3）
结论：存在非零常数，使时，的面积为定值.
设存在这样的常数，使时，为定值.
设直线的方程为，且直线与的交点坐标分别为，，
，，，
.
联立，得，
由韦达定理，可得，，
，
即，因此.
∵点到直线的距离为，
，
，
.
要使得的面积为定值，只需，得，
即，解得，
此时，即，