广东省和美联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省和美联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，（ ）
A．B．C．D．
2．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A．29.5hB．29hC．28.5hD．28h
7．定义运算：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定为“”
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
D．当时，的最小值为4
10．已知，，，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为9B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
11．已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ）
A．B．为上的增函数
C．为奇函数D．若则的取值范围为
三、填空题
12．函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 .
13．已知角的终边经过点，则 ．
14．设满足满足，则 .
四、解答题
15．记，．
(1)求集合与集合；
(2)若，求实数的取值范围．
16．已知函数是定义域为的奇函数．
(1)求，的值；
(2)判断并用定义证明函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
17．某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示：
(1)当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型
(2)已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元?
18．已知函数的最小正周期是.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值；
(3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围.
19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”．
(1)已知，试判断是否为“类函数”．
(2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围．
1．A
先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得.
【详解】因，，
故.
故选：A.
2．B
由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断.
【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．B
根据函数是奇函数，再结合指数和对数运算公式，即可求值.
【详解】因为，所以，所以，
又是奇函数，所以.
故选：B
4．B
利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
5．D
根据分段函数为增函数列不等式组，即可解得.
【详解】因为是上的增函数，
所以，解得：.
故选：D
6．D
根据题意代入公式计算电池容量，当时，代入公式计算时间.
【详解】根据题意在电池容量不变的条件下，，
当时，，代入公式得：，
当放电电流时，代入公式得，
解得
，
故选：D.
7．A
问题化为与图象的交点个数，结合新定义写出的分段函数形式，再数形结合求参数范围.
【详解】函数的零点个数，即与图象的交点个数，
由题意知，其图象如图所示（实线），
若直线与的图象有两个交点，则，即.
故选：A
8．B
观察题目给出的不等式，整理成两边形式统一的结构，构造新函数并判断新函数的单调性，再利用单调性解不等式，求解过程中要注意函数的定义域。
【详解】由，，得，令，则，
所以在上单调递减.因为，所以，因为，所以，即，
因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以，
即,解得，因此不等式解集为.
故答案为：B
9．BC
选项A，根据存在量词命题的否定形式判断即可，选项B，根据抽象函数定义域的求法求解即可，选项C，根据扇形面积公式、弧长公式计算即可，选项D，根据基本不等式、正弦函数的值域求解即可.
【详解】选项A，命题，的否定为，，故A错误；
选项B，由，得，所以的定义域为，故B正确；
选项C，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，
解得，因此扇形的弧长为，故C正确；
选项D，因为，所以，在上单调递减，
所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5，故D错误.
故选：BC.
10．ACD
对于A，由基本不等式“1的妙用”求解即可；对于B，根据题意，再代入配方即可确定最值；对于C，根据即可判断；对于D，由基本不等式解得，再根据对数的运算即可求解．
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；
对于B，，
根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，故C正确；
对于D，因为，即，
当且仅当，即时取等号，
所以，
即最大值，故D正确．
故选：ACD．
11．ACD
利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:，
对于A，令，则，所以.
所以A正确.
对于B，令，则，，所以.
所以，所以为上的减函数.
所以B错误.
对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为.
令，则，即.
所以为奇函数.所以C正确.
对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数.
因为，所以.
所以，即，解得.
的取值范围为.所以D正确.
故选：ACD.
12．
根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式.
【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A，
所以点的坐标为，
设，则，得，
所以，
故答案为：
13．
根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】由于角的终边经过点，故，
所以.
故答案为：.
14．1
由题意转化为和是方程的根，即可求解.
【详解】，
所以是的根，也是方程的根，
函数是增函数，所以，则.
故答案为：1.
15．(1)；或
(2)
（1）解不等式，得出集合，解不等式，，得出集合.
（2）根据，得，由集合之间的包含关系建立不等式组求解.
【详解】（1）由，得，∴，
∴集合；
∵，∴，∴，
∴不等式的解为或，
∴集合或.
（2）∵，∴，∵集合，集合或
∴或，
解，不存在，
解，得，
∴实数的取值范围是.
16．(1)，
(2)在R上为减函数，证明见解析
(3)
（1）根据题意，由，求得，再由，列出方程，求得，即可得到答案；
（2）由（1）知，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证；
（3）由为上为奇函数，转化为，再由在上是减函数，转化为恒成立， 结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为是上的奇函数，所以，即，解得，
所以，又由，知，解得，
经检验，当时，满足，满足题意；
所以.
（2）解：在上为减函数.
证明：由（1）知，
任取，且，
则，
因为，所以，所以，即，
所以在上为减函数.
（3）解：因为为上为奇函数，
则不等式，即为，
又因为在上为减函数，可得，即恒成立，
则满足，解得，
所以的取值范围为.
17．(1)更符合实际的函数模型为
(2)
【详解】（1）若选用函数
将点，代入可得
解得，，所以
当时，得
若选用函数，将点，代入可得，解得，，所以
当时，得，
因为，即模型与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为
（2）当时，令，即，
所以
当时，由，解得，所以
所以该企业每月广告投入费用 x在时月利润不少于64万元.
18．(1)
(2)最大值为0，此时；最小值为，此时
(3)
【详解】（1）因为，所以，.
当时，函数单调递减，
解得，
故函数的单调递减区间是；
（2）因为，所以，
则当，即时，，此时；
则当，即时，，此时.
故在上的最大值为0，此时；最小值为，此时.
（3）由（1）知，设，则，
所以关于的不等式对恒成立，
等价于关于的不等式在上恒成立，
所以，解得，
因为在上单调递增，又，，
所以的取值范围是．
19．(1)是“类函数”
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为，
若在定义域内存在实数，满足，
可得，即，解得或，
所以是“类函数”.
（2）因为是定义在上的“类函数”，
所以存在实数，满足，
即方程在上有解，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，；当时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）由函数，
可得对恒成立，即对恒成立，所以，
若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，
①当时，，所以，所以，
因为函数在上是增函数，
当时，可得，所以；
②当时，，所以，矛盾；
③当时，，所以，所以，
因为函数在上是减函数，
当时，可得，所以； 月份
第一个月
第二个月
第三个月
每月广告投入费用单位：万元
2
4
8
月利润单位：万元
4
8
31