2025~2026学年浙江省金华市义乌市名校中学九年级（上）一次校本作业 数学试题（解析版）

这是一份2025~2026学年浙江省金华市义乌市名校中学九年级（上）一次校本作业 数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 抛物线与轴的交点坐标为， “a是实数，”这一事件是， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故选：．
2. “a是实数，”这一事件是（ ）
A. 必然事件B. 不确定事件
C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】A
【解析】∵a为实数，
∴，
∴该事件一定成立，是必然事件．
故选A．
3. 已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 圆外B. 圆上
C. 圆内D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵的半径是3，的长为2，且，
∴点P在圆内．
故选：C．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：C．
5. 已知点、、都在函数的图象上，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴函数图像的对称轴是直线，图象的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
点关于对称轴的对称点是，
∵，
∴；
故选：C．
6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三个内角角平分线的交点
D. 三边高的交点
【答案】A
【解析】利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿y轴方向平移后使抛物线可以经过原点，则这样的平移方向和距离是（ ）
A. 向下平移4个单位
B. 向上平移2个单位
C. 向下平移6个单位
D. 向上平移8个单位
【答案】D
【解析】，
设将抛物线向上平移个单位后，新抛物线经过原点，
∴，把代入，得：，
解得：，
∴平移方向和距离是向上平移8个单位；
故选D．
8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：

关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图象上有两点，，则
【答案】D
【解析】由题意可知，抛物线的图象经过点、、，
即，解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，，故C正确；
∵当，即，解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，，或，故D错误；
故选：D．
9. 已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】抛物线（a是常数，且），
∴对称轴为直线，顶点为，
∵直线与抛物线有两个交点、，
∴抛物线开口向下，
，
∵对称轴为直线，且，
∴抛物线与轴的坐标不在的下方，
令，则，
∴抛物线与轴的交点为，
，
解得，
的取值范围为．
故选：B
10. 抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④当时，方程的所有实数根的和为，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】∵抛物线的顶点坐标（-2，-9a），
∴，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a，
∴，故①错误，
∴故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5a，
当y=0时，ax2+4ax-5a=0，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根和为：，故结论③正确；
如图，当时，直线y=1与图象有3个交点，
∴方程的所有实数根的和为，
当时，直线y=1与的图象有2个交点，此时方程的所有实数根的和为，
∴当时，直线y=1与的图象有4个交点，此时方程方程的所有实数根的和为-4-4=-8，故④错误；
所以正确的结论有2个，
故选：B
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 抛物线的顶点坐标是__________．
【答案】
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 过年时包了100个饺子，其中有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是 _____．
【答案】
【解析】过年时包了100个饺子，有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是
故答案为：
13. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 已知抛物线，点A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n的值等于______．
【答案】-4
【解析】抛物线的对称轴为直线x=
∵点A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，
∴，m=4
解得n=-8
∴m+n=-4
故答案为：-4．
15. 如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 __________.
【答案】
【解析】如图，以所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

由题意可知，
设抛物线的解析式为，
把代入，得：
解得，
∴所求的抛物线的解析式是，
当时，，
解得，
∴则m的取值范围是．
故答案为：．
16. 不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则_________ ．
【答案】或
【解析】原抛物线整理为：
，
不论为何值，抛物线均过定点，
令
解得：
定点
如下图，过作轴，
则，，
，，
为等腰直角三角形，
点坐标或
将代入抛物线方程得：
解得；
将代入抛物线方程得：
解得；
抛物线与轴交于两个不同的点，
，且，
解得：且，
当或时，均满足该条件，
故答案为：或．
三．解答题（共72分）
17. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后，放回，搅匀再随机摸出一个球，请利用树状图或列表法求两次都摸到相同颜色的小球的概率．
解：（1）设袋子中白球的个数为，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：袋子中有1个白球；
（2）根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
18. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）通过观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴顶点坐标为：；
（2）由图象可知：当时，或．
19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）将绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标；
（2）结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）．
解：（1）如图，即为所求，，，；
（2）由图形可得，外接圆坐标为，
半径为：
则能够完全覆盖的最小圆面积
．
20. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
解：（1）由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
21. 已知二次函数（m为常数）．
（1）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（2）若该函数图像上有两个点、，当时，求p的取值范围．
解：（1）由题可知，，
∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（2）的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴二次函数图像开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或．
22. 某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
（2）求W与x之间的函数关系式
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
∴价格提高元，每天少销售盒，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
故W与x之间的函数关系式为．
（3）∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
23. 二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
解：（1）①依题意，，
解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
24. 如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，点D是直线上的点且在第一象限内，若是以为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接，与交于点F，连接，和的面积分别为和，当时，求点E坐标．
解：（1）将点，点代入得，解得，
∴抛物线的解析式为.
（2）设点D坐标为，连接，，过点C作于H，

据勾股定理得，
中，；
在中，，
在中，，
∴，解得，，
∴点D坐标为或；
（3）设直线解析式为，将点代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴ ，，，
∴，
∴，
∴
∵
∴整理得
解得（不合题意，舍去）
因此，点E坐标为.
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
1
0
…