2025~2026学年浙江省宁波市余姚市名校九年级（上）学业数学试题（解析版）

这是一份2025~2026学年浙江省宁波市余姚市名校九年级（上）学业数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 没有水分，种子发芽了
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 买一张彩票，一定会中奖
D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【解析】没有水分，种子发芽了是不可能的，因此选项A不正确；
经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，因此选项B不正确；
购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是，因此选项D正确；
故选：D．
2. 已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上
C. 点P在外D. 无法判断
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为3，，且，
∴点P与的位置关系是点P在内，
故选：A．
3. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是，
故选：B．
4. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】连接，，
∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处，
∴C是的中点，D是的中点，
∴，，，
∴O、C、D三点共线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去），
∴．
故选：B．
5. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 图象开口向下
B. 图象的对称轴为直线
C. 当时y随x增大而增大
D. 图象经过点
【答案】C
【解析】A． ∵，
∴图象开口向上，故A错误；
B、图象的对称轴为直线，故B错误；
C、∵对称轴为直线，图象开口向上，
∴时y随x增大而增大，故C正确；
D、当时，，
∴图象不经过点，故D错误．
故选：C．
6. 如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（ ）
A. 65B. 130
C. 65或130D. 65或115
【答案】D
【解析】如图所示，
当P在上时，，
当P在上时，，
故选：D．
7. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵点，，经过
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴
故选：B．
8. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D.
【答案】A
【解析】设量角器刻度处为点，如图，
则为半圆的直径，设的中点为，则点为圆心，连接，
∵点为中点，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点F为弧上一动点，
∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值．
∴的最小值为．
故选：A．
二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）
9. 二次函数y＝x2－4x＋1图象的对称轴是直线______________．
【答案】
【解析】由抛物线的解析式可得对称轴为：，
故答案为：．
10. 在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是__．
【答案】
【解析】在这5个标号的小球中是偶数的有2个，分别为：2，4．所以摸出的小球标号为偶数的概率是．
故答案为．
11. 一个扇形的弧长为6，半径为3，则该扇形的面积为________．
【答案】9
【解析】设扇形弧长为l，半径为r，
则，
故答案为：9．
12. 如图，五边形是⊙的内接正五边形，则的度数是____．
【答案】
【解析】∵五边形是⊙的内接正五边形，
∴∠COD=，
∵OC=OD，
∴=，
故答案为：．
13. 已知抛物线的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①对称轴为直线；
②方程有两个不相等的实数根；
③若点，均在二次函数图象上，则；
④满足的x的取值范围是或．
其中正确结论的序号为______．
【答案】①③④
【解析】把 代入得，

解得：
∴
∴对称轴为直线，故①正确；
∵
∴，即为，
∴，
∵
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②错误；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，故③正确；
由得，
即
则和：
由 解得：，
∴，
由图形可得，当或时，，即，故④正确；
综上，正确的结论为①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（共7小题，共56分）
14. 已知二次函数的图象经过点，．
（1）请求出此二次函数的解析式；
（2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由．
解：（1）将，代入中，
得： ，解得：，
该二次函数的解析式为．
（2）当时， ，
∴点不在这个二次函数的图象上．
15. 已知：如图，、、、是上的点，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
解：（1），
，
即．
∴．
（2）∵，，
．
16. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；
（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
解：（1）从布袋中任意摸出1个球,摸出是红球的概率=3÷4=；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率=6÷12=．
17. 如图，已知抛物线的顶点为A，它与y轴的交点为B．
（1）求点A，点B的坐标以及点B关于对称轴的对称点的坐标；
（2）若点在该抛物线上，且，求n的取值范围．
解：（1）∵
∴化为顶点式为：
∴
当，则，
∴
∵抛物线对称轴为：，
∴
（2）令时，则 ；
令时，则 ；
∵过最低点，
∴当时，取最小，
∴.
18. 图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图①，已知经过点，画出所在圆的圆心，并写出它的坐标______．
（2）在图②中找格点，使（找出一个符合条件的格点即可）．
（3）在图③中，正方形网格中的圆经过格点、，画出该圆的圆心．
解：（1）如图，点即为所求．
故答案为：．
（2）如图，点即为所求（答案不唯一）．
（3）如图，点即为所求；
19. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元．
（1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元；
（2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
解：（1）若上涨5元，每个月可卖出（件），
每个月的销售利润为（元），
故答案为：175，3500；
（2）由题意得：，
由知，
又为正整数，
故（且为整数）；
（3）二次函数图像的对称轴为，
，
∴二次函数图像开口向下，
根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值，
∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元．
20. 如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，、交于F，平分，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若交y轴于点G，如图②，请直接写出的值是_______．
解：（1）∵，平分
∴
∵
∴
∴
（2）∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∵四点共圆
∴
又∵
∴
由（1）知，
∴
∴
（3）如图，过点作于，过点作于
∵
∴
在和中

∴
∴
又∵
∴
而
∴
∴
又∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：.
B卷
一、选择题（共2小题，每小题3分，共6分）
21. 若圆半径为1，则的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得．
故选：D．
22. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 不能确定
【答案】B
【解析】判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时，
方程解的个数，
，此方程有两个相同根，
二次函数的图象与轴有一个交点．
故选：B．
二、填空题（1个小题，共4分）
23. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为_____．
【答案】
【解析】∵
∴指针落在黄色区域的概率为；
故答案为：.
三、解答题（1个小题，共10分）
24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
解：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．

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