甘肃省多校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省多校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知命题：“，”，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
3．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
4．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ）
A．2B．8C．10D．2或10
8．已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．，都有B．，使得C．D．
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，则“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为6
D．若，且，则的最大值为7
三、填空题
12．已知，，则的取值范围为 ．
13．集合，，若，则由实数组成的集合为
14．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 .
四、解答题
15．已知全集,集合,集合为小于6的质数.
(1)求;
(2)求.
16．已知集合．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
18．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
19．如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．
(1)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；
(2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．
1．D
根据存在量词命题否定的基本形式即可得出结论.
【详解】易知“，”的否定为“，”
故选：D
2．B
利用交集的定义求出，再结合集合子集个数的结论即可求解．
【详解】因为，，所以，所以的子集个数为．
故选：B．
3．B
化分式不等式为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，解得，
所以不等式的解集是.
故选：B
4．D
题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.
【详解】解：，
阴影部分表示的集合为或．
故选：D．
5．A
由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，当且仅当时取等，
所以，所以“”能推出“”，
取，满足，但，
“”不能推出“”,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．C
结合题意可知，解出不等式即可得到答案．
【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得．
故选：C．
7．A
利用根与系数的关系直接求解.
【详解】设，是的两个实数根，则，，
故，解得或．
当时，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上，．
故选：A．
8．D
利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
9．ACD
根据题意，由全称量词命题与存在量词命题的性质可判断A与B选项；由集合的交集与并集运算可判断C与D选项.
【详解】对A与B：因为，所以，都有，故A正确，B错误；
对C：因为，所以，所以，故C正确；
对D：因为，所以，所以，故D正确．
故选：ACD
10．BD
根据不等式的性质，结合反例即可求解.
【详解】对于A，当时，满足，但，故A错误；
对于B,，若，则，故，B正确；
对于C，若，满足，但，故C错误；
对于D， 若，又，则，D正确.
故选：BD
11．ACD
对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A选项，中，中，所以，
不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误；
对于C选项，因为，所以
则，
当且仅当时，即时，取“=”，故C正确；
对于D选项，设，则，
则，
其中，
当且仅当时，等号成立，故，故D正确.
故选：ACD.
12．
根据不等式性质求得式子的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
所以，即的取值范围为．
故答案为：.
13．.
由集合的包含关系可得或或，再求出对应的a值，即可得结果.
【详解】集合，，且，
或或，
．则实数组成的集合为.
故答案为：.
14．5
由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解.
【详解】中，，所以方程有两个不同的实数根，
即，
若，则或，
当时，方程，只有实数根，所以且，得；
当时，方程，
时，方程有个不等的实数根，分别为和，
0不是方程的实数根，
若是方程的实数根，则，
若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，
若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，
若不是方程的实数根，
所以方程有个相等的实数根，即，得，
当时，，满足条件，
当时，，满足条件，
所以，.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）分别求出集合A,B再求并集即可
（2）求出A的补集再与集合B求交集即可
【详解】（1）由得或
所以
又,所以
（2）,所以
所以
16．(1)
(2)
（1）先求出集合，再由并集的定义求解即可；
（2）先求出，分和，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案
【详解】（1）由可得：，
由可得：或，
所以或，
.
（2），因为,
①，则，解得：，
②，则或，解得：.
故实数的取值范围为：．
17．(1)64
(2)18
（1）由可得，进而利用基本不等式求解；
（2）由，可得，进而利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】（1）因为，，由可得.
根据基本不等式有：.
因此，令（），
则不等式变为，即，因式分解得.
因为，所以，即，进而.
当且仅当且时取等号，解得，.
所以的最小值为.
（2）由，两边同时除以（，，故），得.
再根据基本不等式有：，
当且仅当且时取等号，解得，.
的最小值为.
18．(1)或；
(2)
(3)．
（1）先应用分式不等式计算得出集合B，再应用交集定义求解；
（2）分是否是空集分别列式计算求参；
（3）根据充分不必要条件定义得出是的真子集，结合（2）即可求解.
【详解】（1）由题意知或，
若，则，
所以或；
（2）当，即时，，此时，符合题意；
当，即时，
因为，所以，
解得，
综上，的取值范围是；
（3），又“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
因为，由（2）知，所以，
解得，所以的取值范围是．
19．(1)
(2)当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米
【详解】（1）因为，，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
解得或，即x的取值范围是；
（2）由（1）知
，
当且仅当时等号成立．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
A
C
A
D
ACD
BD
题号
11









答案
ACD