甘肃省兰州第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省兰州第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（ ）
A．16B．15C．14D．8
2．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．若，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．既有最大值也有最小值
B．存在实数，使得
C．对任意正整数在区间上均单调递增
D．若且关于的方程有且只有两个实根，则
8．对不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足
10．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．，B．的值域为
C．若，则D．若，且，则
11．已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ）
A．
B．有且只有两个零点
C．
D．不等式的解集为
三、填空题
12．函数的零点属于区间（），则 ．
13．已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是 ．
14．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为 .
四、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
16．设函数
求的值；
求不等式的解集.
17．已知函数.
(1)当时，求的值域;
(2)若的最小值为，求的值.
18．已知函数（，）．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若方程有两个不等实根，求实数a的取值范围．
19．已知．
(1)求证：；
(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】由题意可知，
所以集合的非空真子集的个数为个.
故选：C
2．A
【详解】，
，
，
∴函数的值域为.
故选：A
3．D
【详解】因为，即；
，即；
，即，
所以.
故选：D
4．A
【详解】由，，得，当且仅当时取等号，
反之，取，满足，而，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【详解】由题意知的定义域为，
且，故为奇函数，图象关于原点对称，A错误；
当时，，则，D错误；
当时，，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意，
故选：B
6．A
【详解】因为的值域为，
所以函数与轴有交点，即方程有实根，
所以，解得或①；
因为函数在区间单调递增，
且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，
所以，解得②，
由①②可得，所以实数的取值范围是.
故选：A.
7．D
【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域．

对于A：由图象可知函数无最小值，A错；
对于B：由图象可知函数最大值为0，B错；
对于C：对任意正整数，函数在上单调递增，C错；
对于D：时，恒过点，且在定义域上单调递减．所以方程在区间中有一个实根．
因为有且只有两个实根，所以即，亦即，
所以，解得.
故选：D.
8．A
【详解】，
即，
令，，
因为在上单调递增，
①时，，即：恒成立，
需要在上恒成立，
而二次函数开口向下，所以需要 ，
解得；
②当时原不等式显然恒成立；
③时，恒成立，即恒成立，
在上恒成立，
又开口向下且对称轴为，
由及可知，
所以在上单调递减，
时，，
所以需要 ，
解得，
综上可得，
的取值范围是，
故选：A．
9．ABC
【详解】由函数及在定义域内都为减函数，
且，故随着的增加而减少，故A正确；
结合图象及指数函数的性质可得第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确；
当时，，则，
即9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故C正确；
，故D错误．
故选：ABC.
10．ABD
【详解】对于A，∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，
∴时，，由题，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
对于B，由，，得，
，，故B正确；
对于C，由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误；
对于D，∵函数为偶函数，∴，
又∵.，∴，∴，∴，故D正确．

故选：ABD
11．ACD
【详解】对于A，由为上的奇函数，
所以，故A正确；
对于B，当时，，
又在 上单调递增，且，
所以时，有且仅有一个零点，
又是上的奇函数，
所以时，也有一个零点，且，
则有三个零点，故B错误；
当时，单调递增，又，
所以，故C正确；
对于D，因为时，单调递增，且，
则时，，时，，
由对称性可知，时，，时，，
，
或，
即或，解得或，
不等式的解集为，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】函数 中， 是 上的增函数， 也是 上的增函数，
则两个增函数的和仍是增函数，因此 在 上单调递增.
当 时：，
当 时：，
因为 在 上单调递增，且 ，，
根据零点存在性定理（若函数在区间 上连续，且 ，
则函数在 内至少有一个零点），可知 的零点属于区间 ，
由题知“零点属于区间 （）”，可得 .
故： .
13．
【详解】由幂函数的图象过点，得，解得，
则，定义域为．
由可得为偶函数．
由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减．
所以等价于，等价于，解得或．
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14．
【详解】由题意知的定义域为，
且在定义域上单调递增，
又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根，
即有两个不等实数根，
设两根为，且，
令，
则，即，
解得，
故实数m的取值范围为，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
.
16．（1）（2）
【详解】由已知得：
当时，由得：
当时，由得：
所以不等式的解集为
17．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
因为，所以，故.
值域为.
（2），
令，则，
当时，即当时，函数取最小值，
∴,即,解得，∴.
当时，函数没有最小值，
∴.
18．(1)奇函数
(2)
【详解】（1）由题意可知，
又，
即，所以是奇函数；
（2）方程可化为，
即有两个不等实根，
等价于有两个不等实根，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
所以，
所以.
19．(1)证明见解析；
(2)在R上单调递增，证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意可知；
，
故.
（2）由题意得，其定义域为R，
在R上单调递增，
证明：任取，不妨设，
，
因为，故，
又，故，即得，
故在R上单调递增；
（3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数；
可化为，
即，即，
令，因为，故，则，
由于在R上单调递增，可得，
结合题意可得对于恒成立，
而，，
结合对勾函数在上单调递增，可得，