2024_2025学年_甘肃高二第一学期第一次月考数学试卷（附解析）

这是一份2024_2025学年_甘肃高二第一学期第一次月考数学试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了 已知数列，则是它的， 等比数列中，，则， 数列an中，，，且， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知数列，则是它的（ ）
A 第9项B. 第10项C. 第13项D. 第12项
【正确答案】C
【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解.
【详解】数列，即数列的通项公式是，
令，所以是它第13项.
故选：C.
2. 等比数列中，，则（ ）
A. 4B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据等比数列通项公式求解即可.
【详解】设等比数列an的公比为，因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
3. 等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由等差数列通项公式可得，结合等差数列前n项和公式判断各项是否为常数.
【详解】若等差数列公差为，则为常数，
所以为常数，
而，，均不确定为常数.
故选：C
4. 数列an中，，，且（），则为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【正确答案】A
【分析】根据递推关系可得数列的周期性，即可求解.
【详解】由，，且可得……,
所以为周期数列，且周期为6，故，
故选：A
5. 已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解.
【详解】根据等差数列前项和公式，当时，.
由等差数列性质，所以.
同理，对于数列，当时，.
又因为，所以.
已知，当时，
而，所以.
故选：C.
6. 已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
7. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果.
【详解】阶幻方由填入得到，填入的数字之和为，
又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，
所以对角线上的数字之和为，
当时，代入可得，
故选：C．
8. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【正确答案】D
【分析】结合已知条件作图并求出直线的定点，然后分别求出直线和直线的斜率，结合图像求解即可.
【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：

由斜率公式可知，直线的斜率为，
直线的斜率为，
若与线段相交，只需要或，
故实数a的取值范围是或.
故选：D.
二､多选题：（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 直线过点与，则直线的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项.
【详解】由直线过点与，
则直线的斜率，
则直线方程的点斜式为，C选项正确；
其一般式为，即，A选项正确；
截距式为，B选项错误；
斜截式为，D选项错误；
故选：AC.
10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列不是等差数列
C. 的最小值为D. 数列为等差数列
【正确答案】BC
【分析】对于A、B，根据数列求和公式以及通项公式的关系，可得答案；对于C，根据数列的单调性，结合数列中大于零的项，可得答案；对于D，写出新数列的通项公式，结合等差数列的定义即可判断.
【详解】由题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，不满足上式，所以，故A不正确，B正确；
由于时，为递增数列，且，故的最小值为，故C正确；
由于，
∴数列不是等差数列，D不正确，
故选：BC．
11. 设公差为的等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 时，的最大值为D. 数列中的最小项为第项
【正确答案】BCD
【分析】根据等差数列通项公式和前项和的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，因为，且，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，且数列满足，，，
所以得到不等式，解得，故B正确；
对于C，依题意得，
当时，（因为，故且数列单调递减），
所以，所以当时最大值为，故C正确；
对于D，当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，且单调递增，，，
故为正数且单调递减，所以单调递减，故且单调递增，
所以的最小项为第项，故D正确；
故选：BCD
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________．
【正确答案】
分析】将代入计算可得结果.
【详解】当时，.
故
13. 已知，则数列的前项和__________．
【正确答案】
【分析】利用，可求前项和.
【详解】，
所以
.
故答案为.
14. 设函数，则__________．
【正确答案】
【分析】根据已知解析式得、，进而求目标式的值即可.
【详解】由，且，
所以
.
故
四､解答题：（本题共6个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）
15. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式
（2）求的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据等差数列的首项与公差直接可得解；
（2）根据等差数列的求和公式，结合二次函数求值域可得最值.
【小问1详解】
由已知，，
则；
【小问2详解】
由已知，，
则，
又，
当时，；
当时，；
所以当时，取得最大值为.
16. 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12．
（1）求直线的方程
（2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案；
（2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求.
【小问1详解】
由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，
因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
故可设直线方程为：，且，①
又因为直线过点，
所以，②
由①②解得或，
所以直线的方程为：或，
即或.
【小问2详解】
由（1）可知，当直线的方程为时，
；
当直线的方程为时，
，
所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或.
17. 已知数列
（1）求数列的通项公式
（2）求数列前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由数列中每一项的特点分析可得通项公式的结构.
（2）将数列an拆分，分组求和可得结果.
【小问1详解】
因为数列an整数部分为奇数，分母为，所以.
【小问2详解】
，
则
18. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，若，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）应用等比数列的基本量运算即可；
（2）应用等差数列的前项和公式计算即可.
【小问1详解】
数列bn为等比数列，设公比为，
，，则，
则，解得，所以，则.
【小问2详解】
数列an为等差数列，设公差为，
由（1）知，，
则，解得：，
则.
19. 已知数列的满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列前项和为，求.
（3）证明：．
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【分析】（1）构造等比数列即可求解；
（2）由错位相减法和等比数列求和公式即可求解；
（3）分三种情况证明即可，注意到，由此即可顺利得证.
【小问1详解】
，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由题意，
从而
；
【小问3详解】
，
当时，，
当时，，
当时，