浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. 0,1D. 2,3
2. 命题“，使得”的否定为（ ）
A. ，B. ，使得
C. ，D. ，使得
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
4. 如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（ ）

A. B. ，
C. D. ，
5. 函数图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是

A. 和B. 和
C. 和D. 和
6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A. 丙同学和甲同学B. 乙同学和甲同学
C 甲同学和丙同学D. 乙同学和丙同学
7. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法正确的有（ ）
A.
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的充要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
10. 已知是奇函数，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 的值域为D. 的解集为
11. 已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 在上单调递减
D. （注：）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 集合，则符合条件的集合的个数为______．
13. 已知，且，则的取值范围为________.
14. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．
问题：若_________，求实数的取值范围．
16. 设．注：
（1）证明：；
（2）若，求最小值．
17. 环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
18. 已知函数,,函数，其中．
（1）是否存在，，使得曲线关于直线对称？若存在求,的值；
（2）若，
①求使得成立的的取值范围；
②求在区间上的最大值．
19. 对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为.
（1）写出整数4的所有“正整数分拆”；
（2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值；
（3）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值.