浙江省杭州市学军中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题(Word版附答案)
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命题人:王瑛 审题人:陈炳臻 诸杰锋
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2.函数的定义域为( )
A.B.
C.D.
3.下列命题正确的是( )
A.小于的角是锐角B.第二象限的角一定大于第一象限的角
C.与终边相同的最小正角是D.若,则是第四象限角
4.已知函数,且对任意,都有,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.已知函数(,,)的部分图象如图所示,则等于( )
A.0B.C.D.
6.已知,且,则的最小值是( )
A.49B.50C.51D.52
7.已知函数在区间上的最大值为,则实数的取值个数最多为( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知定义在上的非常数函数满足:对于每一个实数,
都有=1+,则的最小正周期为( )
A. B.C.D.
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分
9. 下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
10.已知函数,则( )
A.的图象关于直线对称
B.的最大值为
C.在上不单调
D.方程在上最多有4个解
11.设,若满足关于的方程恰有三个不同的实数解
则下列选项中,一定正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上.
12.已知,则.
13.若,则 .
14.已知,则的最小值为_______.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)若关于的不等式的解集是.
(1)求的值;
(2)设集合,若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围.
16. (15分)已知函数,,
(1)求的值以及的对称轴;
(2)将函数图象上的点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到的图象,
若 ,求的取值范围;
(3)已知 , 求的值.
17. (15分) 某企业原有 200 名科技人员, 年人均工资 万元 (),现加大对某芯片研发力度,该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员 名 且 ,调整后研发人员的年人均工资增加 ,技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性,企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件:①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数,满足以上两个条件,若存在,求出的范围; 若不存在,说明理由.
18. (17分)设函数的定义域为,若对,都有,则称函数为中心对称函数,其中为函数的对称中心.比如,函数就是中心对称函数,其对称中心为.
(1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称,且当时,
求的值;
(2)已知函数为中心对称函数,有唯一的对称中心,请写出对称中心并证明;
(3)已知函数,其中,若正数满足
,且不等式恒成立,求的取值范围.
19. (17分)已知函数和的定义域分别为和,若对任意,恰好存在个不同的实数,使得(其中,,),则称为的“重覆盖函数”.
试判断是否为的“2重覆盖函数”?请说明理由;
若为的“3重覆盖函数”,求实数的取
值范围;
函数表示不超过x的最大整数,如,,.
,,若为的“2024重覆盖函数”,求正实数a的取值范围.
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