江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
又，所以.
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案.
【详解】命题“，”的否定是，，
故选：C
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性.
【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立；
当时，成立，不满足，所以必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
4. 下列四组函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数相等的充要条件逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，，对应法则不同，故A错误；
对于B，的定义域分别为，定义域不同，故B错误；
对于C，的定义域分别为，定义域不同，故C错误；
对于D，的定义域均为，且，即对应法则相同，故D正确.
故选：D.
5. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法可得结论.
【详解】由，可得，解得，
所以当时，，排除BD；
由，解得或，
所以时，，排除C.
故选：A.
6. 设函数，则（ ）
A -4B. -2C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，计算求值即可.
【详解】.
故选：B.
7. 若，且，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用1的代换结合基本不等式可求最小值.
详解】..
当且仅当，即时取等号.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解.
【详解】由得关于对称，
由得，
即，
所以也关于对称，
因此两函数图象交点也是对称的，
假设点与点对称，
则，所以推理可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】判断所给选项能否推出，能推出，则是充分条件.
【详解】对于A，若，满足，但得不出，故A错误；
对于B，因为，所以，所以左右同除以可得；故B正确；
对于C，若，满足，但得不出，故C错误；
对于D，所以可得，故D正确.
故选：BD.
10. 已知全集，，，，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的不同子集的个数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】解不等式可求得全集，作出图后，依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，；
根据已知可作出图如下图所示，
，A正确；，B错误；，C正确；
中有个元素，的不同子集有个，D正确.
故选：ACD.
11. 设为实数，已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，是偶函数B. 当时，的最小值为
C. 若在上单调递减，则的取值范围为D. 若存在，对于任意的，则的可能值共有3个
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断A；分类去绝对值符号，结合图象可求得最小值判断B；利用单调性求得判断C；由关于对称可知函数图象具有对称性求出的值判断D.
【详解】若，则，
所以，故A对；
若，则，如图：
故，故B正确；
在上，若，则，使函数在单调递减，则即，又，所以，故C错误；
若，则关于对称，所以由C可知与均能满足题意，
此外由B可知要满足题意则中间部分必须水平，
所以或时，或要为0，即，共有3个，故D对．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由题意可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13. 设，若，则的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
故答案为：.
14. 设，函数在上的最小值为，在区间上的最小值为，若存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由对勾函数性质进行讨论即可得解.
【详解】分以下三种情形讨论即可：
①时，函数在上单调递减，在单调递减，在上单调递增，
所以，
即；
②时，函数上单调递减，在上单调递增，
所以，即；
③时，函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递增，
所以，
即；
所以要想存在两个不同的使得相同，
则必须一个，另一个，
即
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16. 设为实数，已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接化简集合，结合并集的概念即可得解；
（2）对进行分类讨论，由包含关系列不等式即可求解.
【小问1详解】
时，，故；
【小问2详解】
①时，，满足题意；
②时，，要满足题意则有，即；
③时，，与已知矛盾，舍；
④时，，与已知矛盾，舍；
⑤时，，一定满足题意.
综上所述，的取值范围是.
17. 如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且.

（1）若，求关于的解析式；
（2）求面积的最大值及相应的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解；
（2）由基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由已知得，易得和全等，所以，
由勾股定理得，即，其中；
【小问2详解】
，
当且仅当时取等，面积最大值为.
18. 设为实数，已知函数为R上的偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数.
①用定义证明：在上单调递增；
②解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求解参数即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
，
由偶函数的定义得，
解得；
【小问2详解】
由（1）得，
①任取，且，
所以
因为，且，所以且，
所以，即，
因此在上单调递增；
②因为，所以为奇函数，由①可知在单调递增，
因此由，可得，进而有，
所以得，即，此外由定义域得，解得，
综上不等式的解集为.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好都存在个不同的实数，使得，则称为的“型函数”.
（1）判断是否为的“1型函数”，并说明理由；
（2）设为实数，若为“2型函数”，求的取值范围；
（3）设为给定的正整数.定义为实数的小数部分，为不超过的最大整数，如.若为的“型函数”，求的取值范围（结果用含的式子表示）.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“1型函数”判断即可；
（2）求得的值域为的值域为，根据“2型函数”求的取值范围；
（3）求得的值域为，进而求的取值范围.
【小问1详解】
不是“1型函数”，理由如下：
因为，所以的值域为，
因为，又，所以可求得的值域为，
所以不存在满足，故不是“1型函数”；
【小问2详解】
由已知得的值域为的值域为，因此要满足题意首先需要，
此外要存在两个不同的实数，
则要满足，即，但时，只有一解，与已知矛盾，
所以的取值范围是；
【小问3详解】
由已知得的值域为，即可视为一个周期函数，
要满足题意则需，即的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题是函数的新定义题，关键是对新定义的正确理解，结合条件判断计算求解.