湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案

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时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 下列命题中，是全称量词命题，且为真命题是（ ）
A. B. 菱形的两条对角线相等
C. D. 一次函数的图象是直线
3. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数在上是单调函数，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. 或D.
6. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，且，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为
D. 的图象关于直线对称
11. 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________.
13. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时.
14. 已知函数定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示）
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. （1）计算；
（2）若，求的值.
16. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并加以证明；
（3）解不等式.
18. 已知函数，.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，求证：，并求的值；
（3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
19. 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.
已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作.
（1）设数列，请写出的所有可能的结果；
（2）求证：对于一个项数列实施操作过程，总共可以实施次；
（3）设数列，求的可能结果，并说明理由.
真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.30103
0.47712
0.60206
0.69897
0.77815
084510
0.90309
0.95424
1.000