江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了 已知向量，且，则， 已知，那么“”是“”的， 已知正实数满足，则的最小值为， 函数等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的运算可得.
【详解】由集合，得，故子集的个数为，
故选：C
2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断.
【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是；
对于B，函数是R上的偶函数，B不是；
对于C，幂函数在上单调递减，C不是；
对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是.
故选：D
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先根据向量垂直得向量数量积为零，解得值，再根据向量的模坐标表示得结果.
【详解】
因此
故选:C.
4. 已知，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，因为正负性不明确，故不能由 一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.
5. 已知，与同向的单位向量为，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. 4B. －4C. 2D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量在向量方向上的投影向量的定义表达式计算即得.
【详解】向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式来求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
7. 设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值.
【详解】因为在上单调递减，
所以
因为存在，满足，
所以，即
，
∴4−a≥161−a>0，
故选：D.
8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数，
由函数是上的单调函数，得函数在上单调，
当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此；
当时，，函数在上递增，在上递减，
，函数在上不单调，因此不成立；
当时，，函数在上递增，在上递减，
因此函数在上单调递增，且，即，解得，
此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增，
则，而，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 若实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式性质证明B正确，其余举反例即可.
【详解】，所以B正确；
当时，满足，
但，所以A，C，D错误；
故选：B
10. 函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期是
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的图象，结合“五点法”作图求出解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期，解得，
由，可得，即，
而，则，因此，
对于A，，A正确；
对于B，函数的最小正周期是，B错误；
对于C，，函数的图象关于点不对称，C错误；
对于D，，函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：AD
11. 设函数，其中为的三边，且满足.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有且仅有一个零点
B. 若，则的零点均大于1
C.
D. 若为直角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合指数型复合函数单调性、零点存在性定理逐项分析判断.
【详解】对于A，，由，
得，函数在R上都单调递减，
则函数R上单调递减，，函数有且仅有一个零点，
因此有且仅有一个零点，A正确；
对于B，当时，，由，得，
解得，又，则，因此，
所以当时，函数的零点大于1，B正确；
对于C，由，得，又，
则当时，f(x)=cx[(ac)x+(bc)x−1]≥cx(ac+bc−1)=cx⋅a+b−cc>0，C错误；
对于D，由为直角三角形，得，
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解.
【详解】由，得，
由三点共线，得，而，
则，又不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
故答案为：
13. 若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用数量积的运算律、向量的夹角公式求解即得.
【详解】由单位向量的夹角为，得，
，
，
，
因此，而，则，
所以与的夹角为.
故答案为：
14. 已知函数在区间上单调，且，则的最大值为__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据给定单调性可得，由给定的函数值可得，求得，再取值代入验证即可.
【详解】令函数的周期为，由函数在区间上单调，
得，解得，即，解得，
由，得，即，
解得，当时，，，
由，得，解得，，
当时，，而当时，取得最大值1，不符合题意；
当时，，，由，得，
解得，，，
当时，，函数在上单调递增，符合题意，
所以最大值为.
故答案为：9
四､解答题：本题共2小题，共27分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的最小正周期为函数的一个对称中心.
（1）求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合；
（2）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值为，的集合为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据周期性和对称性求，再结合正弦函数的最值分析求解.
（2）令并求得的范围，由恒成立，结合二次函数性质分类讨论求最值，结合恒成立问题运算求解.
【小问1详解】
由的最小正周期为，且，得，解得，
由为的对称中心，得 ，解得，，
由 ，得，则，，
此时，即，
所以函数的最小值为，取得最小值的的集合为.
【小问2详解】
由，得，即，
令，由，得，则，
由对任意的，都有，得在恒成立，
令，，
当，即时，，解得，因此；
当，即时，，解得，因此；
当，即时，，解得，无解，
所以实数的取值范围是.
16. 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.

（1）若，线段与交于点，求的值，
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，
因为，所以
即，
因为，所以
从而，
联立方程组解得
因此
【小问2详解】
因为是线段上一点，，所以，
又因为，所以，因此，
又,即,
由第一问知，
所以
令
因此
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.