江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，再利用交集的定义计算即可.
【详解】由，解得，则，
由，解得，则，所以.
故选：C.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可.
【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定为：“”.
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案.
【详解】若，则，
若，则可能等于，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意列方程求解即可.
【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，
所以，化简得，
因为，所以.
故选：B
5. 已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案.
【详解】由于点在幂函数的图象上，
所以，
在上单调递减，
由于，所以，
，
所以，即.
故选：D
6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得.
故选：B
7. 设为实数，函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为与有四个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有四个交点可确定的取值范围.
【详解】若函数有四个零点，即函数和的图象有四个不同的交点，
作出函数图象（如图所示），
与轴交点为，
由图象，得当时，两者有4个不同交点.
故选：D.
8. 设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，，两式相减得，即可求得.
【详解】因为是偶函数，是奇函数，
则，，
两式相减得，
则，
则.
故选：A.
二、多选题
9. 设a，b为实数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可.
【详解】因为，所以，
对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的图象关于点中心对称
C. 的值域为D. 在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用，即可求解；对于B，通过计算的函数值，即可求解；对于C，利用复合函数值域的求法，即可求解；对于D，利用复合函数单调性的判断方法，即可求解.
【详解】对于选项A，易知，所以对，，即的定义域为，故选项A正确，
对于选项B，因为，，
可知的图象不关于点中心对称，所以选项B错误，
对于选项C，因为，
又，所以，则，得到，所以选项C正确，
对于选项D，令，则，易知在区间上单调递增，且，
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故选项D错误，
故选：AC.
11. 已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的图象关于直线对称D.
【答案】ABD
【解析】
分析】利用赋值法和换元思想逐项判断即可.
【详解】令，得A正确；
令，得B正确
令，得.再令得，所以C错误；
令得，即D正确.
故选：ABD
三、填空题
12. 如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用扇形和三角形的面积的公式，即可求解.
【详解】如图，取中点，易知，因为，，
所以，，故，
又劣弧所在扇形的面积为，
所以图中面积较小的弓形区域的面积为，
故答案为：.
13. 设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可.
【详解】由，所以，
依题意可得，解得，所以的最小值为.
故答案为：
14. 设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解.
【详解】，所以，
所以，
所以为奇函数，所以.
，即，
令，
，
在上为减函数，所以.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果.
（2）由，且，得出，代入即可得到结果.
【小问1详解】
，
，
，
.
【小问2详解】
，
，
，
，
，
.
16. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值.
（2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案.
（3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知，
，
则，由，
得，则，
由于，所以，所以.
【小问2详解】
由于，
要使，则令得，
所以在上的单调增区间是.
【小问3详解】
，
.
17. 设定义在上的奇函数和偶函数，满足.
（1）的值；
（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得，从而求得的值.
（2）利用函数单调性的定义，由来证得结论成立.
（3）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集.
【小问1详解】
依题意，定义在上的奇函数和偶函数，
有，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，任取，
所以
，
由于在上单调递增，所以，
所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由，得，
由（2）得在上单调递减，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
18. 设为实数，已知函数.
（1）若是上的单调函数，求的取值范围；
（2）已知.
①求的最小值；
②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）①；②14
【解析】
【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围；
（2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解.
【小问1详解】
因为是上的单调函数，
所以在上是单调函数，
所以在上是单调递减函数，
所以在上单调递减，所以，解得.
所以满足题意的的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，
①时，；时，，
因为，
所以的最小值为；
②由题，且，所以，
又时，，，
所以对任意，不存在，使得，不符合题意，
所以，
所以，
因为对任意，都存在，使得成立，
所以，故，
所以，当且仅当
即时取等号，
所以的最小值为14.
【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得.
19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”.
（1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；
（2）设，若与为“函数对”，求的取值范围；
（3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数，
因为，所以函数在上有唯一零点，
当时，函数是单调递减函数，
，即，
所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”；
【小问2详解】
由得，，
，所以的零点是的零点，
由得，，
当时，，所以为的零点
而当时，必须使得无解，
否则的一些零点不能使得，
所以对成立，
所以，得，此时的零点也全是的零点，综上.
【小问3详解】
由，
因为函数与为“函数对”，
所以，取对得，
由，
因为函数与为“函数对”，
所以有，
因为在上单调递增，所以，即.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性.