高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数同步训练题

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc117796730" 【考点1：对数的概念判断与求值】 PAGEREF _Tc117796730 \h 1
\l "_Tc117796731" 【考点2：指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc117796731 \h 3
\l "_Tc117796732" 【考点3：对数的运算性质】 PAGEREF _Tc117796732 \h 5
\l "_Tc117796733" 【考点4：换底公式及其应用】 PAGEREF _Tc117796733 \h 10
【考点1：对数的概念判断与求值】
【知识点：对数的概念】
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式.
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）对数的概念
一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=___________，其中a叫做对数的___________，N叫做___________．
（2）对数的基本性质
①当a>0，且a≠1时，ax=N⇔___________．
②负数和0没有对数．
③特殊值：1的对数是___________，即lga1=___________（a>0，且a≠1）；底数的对数是1，即lgaa=1（a>0，且a≠1）．
（3）常用对数与自然对数
【答案】 lgaN 底数 真数 x=lgaN 0 0 10 lg ln
【解析】略
2．使式子lg(3x−1)(3−x)有意义的x的取值范围是（ ）
A．x>3B．x0，所以，2x=3，解得x=lg23.
故答案为：x=lg23.
2．函数f(x)满足f(2x)=x2-2ax+a2-1，若f(5)=-1，则实数a的值为_______.
【答案】lg25
【分析】结合已知条件求出f(x)的解析式，然后利用f(5)=-1即可求出a.
【详解】令t=2x>0，则x=lg2t，由f(2x)=x2-2ax+a2-1=(x-a)2-1得，f(t)=(lg2t-a)2-1，
即f(x)=(lg2x-a)2-1，x>0，从而f(5)=(lg25-a)2-1=-1⇒a=lg25，故实数a的值为lg25.
故答案为：lg25.
3．（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．100=1与lg1=0B．lg39=2与912=3
C．27−13=13与lg2713=−13D．lg55=1与51=5
【答案】ACD
【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.
【详解】对于选项A，指数式100=1化为对数式为lg1=0，故A正确；
对于选项B，指数式912=3化为对数式为lg93=12，故B错误；
对于选项C，指数式27−13=13化为对数式为lg2713=−13，故C正确；
对于选项D，指数式51=5化为对数式为lg55=1，故D正确.故选：ACD.
4．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=θ1−θ0e−kt+θ0，其中t为时间（单位：min),θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20∘C的情况下，一杯饮料由100∘C降低到60∘C需要20min，则此饮料从60∘C降低到40∘C需要（ ）
A．10minB．20minC．40minD．30min
【答案】B
【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解k=ln220，进而将θ0=20，θ1=60，θ=40，k=ln220代入解析式中即可求解时间．
【详解】由题意可得，θ0=20，θ1=100，θ=60，t=20代入θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0，
80e−20k+20=60，解得e−20k=12，故−20k=−ln2，解得k=ln220．故当θ0=20，θ1=60，θ=40，k=ln220时，将其代入θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0得40e−kt+20=40，解得t=20，故选：B
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据lg0.70.2≈4.51）
【答案】5
【分析】由题意可得y=100×0.7x，指对数互化结合题中题意求解.
【详解】设x个小时后100ml血液中酒精含量为ymg，则y=100×(1-30%)x，即y=100×0.7x，
当y=100×0.7xlg0.70.2≈4.51，所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶．
故答案为：5.
【考点3：对数的运算性质】
【知识点：对数的运算性质】
1．求值(lg5)2+lg2⋅lg25+(lg2)2＝_____．
【答案】1
【分析】利用对数的运算性质求解即可.
【详解】原式=lg52+2lg2lg5+lg22=lg5+lg22=lg102=1.故答案为：1
2．2lg214-823-23+lg1100+2-1ln1=________．
【答案】-34-35294
【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值
【详解】原式=2lg22-2-2323-23+lg10-2+2-10=2-2-23×-2323-23-2+1=-34-14×2323=-34-35294
3．计算：+lg0.001+lne+2-1+lg23=______.
【答案】1
【分析】由对数的运算法则和运算性质直接求解；
【详解】+lg0.001+lne+2-1+lg23= +lg0.001+12lne+12×2lg23
=2+lg10-3+12+32＝2-3+12+32=1；故答案为：1.
4．已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是（ ）
A．若M=N，则lgaM=lgaNB．若lgaM=lgaN，则M=N
C．若lgaM2=lgaN2，则M=ND．若M=N，则lgaM2=lgaN2
【答案】ACD
【分析】AD可举出反例；C选项可推导出M=N或M=−N；B选项，根据y=lgax单调可得到M=N.
【详解】若M=N≤0，则lgaM,lgaN无意义，A错误；
因为lgaM=lgaN，且y=lgax为单调函数，所以M=N，B正确；
因为lgaM2=lgaN2，则M2=N2，所以M=N或M=−N，C错误；
若M=N=0，则lgaM2,lgaN2无意义，D错误.故选：ACD
5．定义两个实数间的一种新运算“*”：x∗y=lg10x+10y，x，y∈R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论，正确的是（ ）
A．a∗b=b∗aB．a∗b∗c=a∗b∗c
C．a∗b+c=a∗c+b∗cD．a∗b+c=a+c∗b+c
【答案】ABD
【分析】首先根据题中所给的条件，利用新定义运算法则，分别求相应的量，逐个验证是否正确，从而选出正确的结果.
【详解】根据运算法则，a*b=lg10a+10b,b*a=lg10b+10a,所以a∗b=b∗a，故A正确；
可知a*b*c=lg10a+10b+10c，a*b*c=lg10a+10b+10c，所以a*b*c=a*b*c，故B正确；
a*b+c=lg10a+10b+c,a∗c+b∗c=lg10a+10b+lg10b+10c=lg10a+10b10b+10c，
所以a∗b+c≠a∗c+b∗c，故C错误；
a+c*b+c=lg10a+c+10b+c=lg10c10a+10b=lg10a+10b+c，
所以a*b+c=a+c*b+c，故D正确；故选：ABD.
6．已知2a=3b=m且1a+1b=2，则m等于（ ）
A．6B．6C．12D．36
【答案】A
【分析】指数式改写为对数式，由换底公式与对数运算法则计算可得．
【详解】由2a=3b=m得a=lg2m，b=lg3m，
1a+1b=lgm2+lgm3=lgm6=2，m2=6，m=6（负值舍去），故选：A．
7．已知b>1，且lg2a=lgb4，则2a+2b的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解.
【详解】因为lg2a=lgb4，所以12lg2a=lgb4，即lg2a=2lg24lg2b，所以lg2a⋅lg2b=4．因为b>1，则a>1，所以lg2a>0，lg2b>0，lg2(ab)=lg2a+lg2b≥2lg2a⋅lg2b=4，则ab≥16，2a+2b≥22a⋅2b=22a+b≥222ab≥32，当且仅当a=b=4时，等号均成立．故选：D．
8．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为3
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别是t1、t2、t3，则2t2=t1+t3
【答案】CD
【分析】先根据图象，代入点1,3，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，
计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；
解出t1=lg32,t2=lg34,t3=lg38，从而得到2t2=t1+t3，D正确.
【详解】由图可知，函数过点1,3，将其代入解析式，a=3，故y=3t，
A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3m2，9m2，27m2，故增长率逐月增大，A错误；
从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；
第4个月的浮萍面积为81m2，超过了80m2，C正确；
令3t1=2，3t2=4，3t3=8，解得：t1=lg32,t2=lg34,t3=lg38，
t1+t3=lg32+lg38=lg316=2lg34=2t2，D正确.故选：CD
9．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=lg322为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=56h，则当放电电流I=15A时，放电时间为（ ）
A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h
【答案】A
【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】由C=Ilg322t，得I=10时，t=56，即10lg322⋅56=C；I=15时，C=15lg322⋅t；∴10lg322⋅56=15lg322⋅t，
∴t=23lg322⋅56=32-lg322⋅56=2-1⋅56=12×56=28.故选：A.
10．计算
(1)lg327+lg25+lg4+7lg72+-9.80
(2)lg8+lg125lg10⋅lg0.1-lg23×4.
【答案】(1)132；(2)-8
【分析】（1）根据对数的运算性质求解，
（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.
（1）lg327+lg25+lg4+7lg72+-9.80=lg3332+lg52+lg22+2+1=32+2+2+1=132；
（2）原式＝lg(8×-lg23×lg24lg23=-6-2=-8.
11．（1）求值(2×33)6+912×823+lg500−lg0.5；
（2）设2x=3y=72，求3x+2y的值.
【答案】（1）87；（2）1.
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可，
（2）依题意有x=lg272,y=lg372，然后代入3x+2y中利用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）(2×33)6+912×823+lg500−lg0.5
=23×32+3×4+lg5000.5=72+12+3=87，
（2）依题意有x=lg272,y=lg372,1x=lg722,1y=lg723，
所以3x+2y=3lg722+2lg723=lg728×9=1.
【考点4：换底公式及其应用】
【知识点：换底公式】
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）lg54⋅lg227⋅lg925=________．
【答案】6
【分析】通过换底公式简化对数，然后进行计算.
【详解】lg54=lg4lg5=2lg2lg5，lg227=lg27lg2=3lg3lg2，lg925=lg25lg9=2lg52lg3，lg54⋅lg227⋅lg925=2lg2lg5⋅3lg3lg2⋅2lg52lg3=6
故答案为:6
2．化简18-23-lg25⋅lg58= ___________.
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，即可求得答案.
【详解】18-23-lg25⋅lg58=2323-3lg25⋅lg52=4-3×lg5lg2×lg2lg5=4-3=1,故答案为：1
3．若实数a，b，c满足3a=4，4b=5，5c=9，则abc=______．
【答案】2
【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.
【详解】因为3a=4，4b=5，5c=9，所以a=lg34,b=lg45,c=lg59，故abc=lg34×lg45×lg59，
由换底公式可得：abc=lg34×lg35lg34×lg39lg35=lg39=2.故答案为：2
4．已知a>0，b>0，ln(2a+1)ln2+14lg2(9b2+6b+1)=lg4729，则a+2b的最小值为__________.
【答案】296
【分析】利用换底公式和对数计算公式进行化简，得到2a+13b+1=27，然后用基本不等式求最小值即可.
【详解】原式化简lg22a+1+lg23b+1=lg227⇒lg22a+13b+1=lg227，
∴2a+13b+1=27，
a+2b=122a+1+233b+1−76≥2132a+13b+1−76=213×27−76=296，
当且仅当a=52，b=76时取“=”号．故答案为：296.
5．已知a=lg23，3b=5，则lg615=（ ）
A．a+aba+1B．aa+1C．a+abab+1D．aab+1
【答案】A
【分析】利用换底公式用a，b表示lg2，lg3，然后将lg615换底可求得答案.
【详解】解：由题意得：因为a=lg23=lg3lg2，b=lg35=lg5lg3=1-lg2lg3
所以lg2=1ab+1，lg3=aab+1，则lg615=lg15lg6=lg3+lg5lg3+lg2=lg3-lg2+1lg3+lg2=aab+1-1ab+1+1aab+1+1ab+1=a+aba+1.故选：A
6．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若5x=2，lg2≈0.3010，则x的值约为（ ）
A．0.431B．0.430C．0.429D．2.322
【答案】A
【分析】由指对互化原则可知x=lg52，结合换底公式和对数运算性质计算即可.
【详解】由5x=2得：x=lg52=lg2lg5=lg2lg102=lg21−lg2≈0.30101−0.3010≈0.431.故选：A.
7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是(1−1%)365=0.99365，一年后“进步”的是“退步”的≈1481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（ ）
A．15天B．17天C．19天D．21天
【答案】B
【分析】设大约用x天，根据题意得到，利用对数运算求解.
【详解】解：设大约用x天，“进步”的是“退步”的1000倍，由题意得，即32x=1000，
所以x=lg321000=lg1000lg3−lg2≈30.4771−0.3010≈17，故选：B
8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：1g2≈0.3010）
A．72B．74C．76D．78
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，可得D=45，再由0.5×(45)G180，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
重要推论
(1) ；
(2)lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.