人教版（2024）九年级上册直线和圆的位置关系习题

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类型一、直线和圆的位置关系
例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，D是BC的中点．以点D为圆心，2.5为半径作圆，则与直线AC的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】连接，过点作于．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，再根据三角形的面积计算可求点到直线的距离，从而求解．
【详解】解：连接，过点作于．
∵在中，，，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点到直线的距离．
【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．
作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围．
【详解】解：作于，如图所示：
∵，
∴，
∵的面积，
∴，
即圆心到的距离，
∵，
∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是．
故答案为：．
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．

【答案】
【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论．
【详解】解：当与相切时，如图，
，
又∵，且，
是等腰直角三角形，，
又∵，
∴，
∴；
当经过点A时，如图，

此时r取最大值，最大值为4，
综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围．
故答案为：．
【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交，
∴，即，
解得，
又∵点在线段上，
∴，
解得，
∴的取值范围为，
故答案为：．
类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
例2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆O的切线；
(2)若为等边三角形，，求圆半径的长．
【答案】(1)见详解
(2)2
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线；
（2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：为等边三角形，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
半径的长为2．
【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．
（1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明．
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径．
【详解】（1）证明：连接，
因为在中，，
所以为等腰三角形，
又，
所以，
又因为在中，，
所以为等腰三角形，
所以，
又，
所以，
即，
所以是的切线．
（2）解：连接，
由（1）知，
所以，
又因为在中，，
所以为等边三角形，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以为等腰三角形，
所以，
所以，
所以的半径为．
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，
（1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）设，则，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H．
(1)求证：为的切线；
(2)若，的直径为8，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证；
（2）过点O作于点E，证明为等腰直角三角形．结合勾股定理求出，证明四边形为矩形，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，如图：
为的中位线，
∴，
，
∴，
为的半径，
为的切线；
（2）解：过点O作于点E，如图．
，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，
，
∴，
∴，
，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
例3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线；
【答案】见解析
【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：过点O作于点E，
于点D，
，
，
，
，
又为的切线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，是半径，
是的切线．
【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；；
(2)若正方形的边长为，则的半径_______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．
（1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证；
（2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则，
∵与切于点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵是圆的半径，
∴是圆的半径，且点是半径的外端点，，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∵正方形的边长为，即
∴，
∴，
解得，，
∴的半径为，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设．
(1)求证：是的切线；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)梯形的面积为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论；
（2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式；
（3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则．
∵与相切于点A，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点D作于点F，
∵是的切线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由切线长定理得：，
∵，
∴，
在中，，即，
化简得；
（3）解：∵梯形是直角梯形，则，
设，由（2）可知，
∴，
化简得，
解得或，
∴长为或．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，

（1）求证：；
定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ；
【知识运用】
（2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长；
【拓展运用】
（3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线．
【答案】（1）过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；（2）12（3）见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理的逆定理，：
（1）根据切线长定理的内容求解即可；
（2）根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式求解即可；
（3）过点O作于F，连接，先证明，得到是直角三角形，且，再由切线的性质得到，根据 ，求出，再由，即可证明是的切线．
【详解】解：（1）根据题意可得，过圆外一个点所画圆的两条切线长相等
故答案为：过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；
（2）∵是的三条切线，
∴由切线长定理可得，
∴的周长
；
（3）如图所示，过点O作于F，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵半径为3的分别与的边相切于点D，E，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是的切线．

类型四、切线的性质和判定的综合应用
例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答；
（2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求及的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为，的长为
【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
（1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C．
(1)求证：是的切线；
(2)若交直线于点D，交于另一点F．
①求证：；
②若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②5
【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题．
（2）①连接，想办法证明即可解决问题．
②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接，．
是的切线，
，
，
，，，
，
，
，
是的切线；
（2）①证明：连接．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
②解：，，
，
，
，，，
，设，
在中，，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．

(1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切；
(2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，，
①求证：；
②求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，求得，于是得到结论；
（2）①连接，作于M，于N．证明，，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）①如图2，连接，作于M，于N．

∵于点，
∴
∵是直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ．
【答案】12
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，则的内切圆半径 ．

【答案】1
【分析】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理等知识点，掌握三角形的内切圆的圆心到三角形的三边距离相等是解题的关键．
由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
如图：连接，
∵，
∴，即，解得：．

故答案为：1．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解．
【详解】解：连接，
∵内切于，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式5-3】（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．
（1）内切圆的半径为 ；
（2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ．
【答案】 2 20
【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，
由切线的性质得，，，，
又，，
四边形是正方形，
．
在和中，，
．
，
同理可证，，，
，，，
．
，
即内切圆的半径为2；
，，
，
，
即的周长为20．
故答案为：2；20．
类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若，则的半径为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得．
（2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径．
【详解】解：（1），
，
，
是的内心，
平分，平分，
，
，
，
答案为：．
（2）作于点，则，
，
，
即，
解得，
，
，
在中，
．
设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，
，，，且，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【变式6-1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
【变式6-2】（（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，．
(1)若，则 ；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解；
（2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答．
【详解】（1）解：，是的切线，
，
又，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，，，
，，是的切线，
，，，
，，，
，
，
，
．
，
的半径为1．
【变式6-3】（（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的内切圆，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，
∴，，
∴的周长为：
∵，，，
∴
．

一、单选题
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理.
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接，
，
，
与圆相切于点，
，
，
故选：C．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解．
【详解】解：由题意知，
∵的半径为，线段，，
∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径，
∴点A在圆的外部，
∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径，
∴点B在圆上，
∵点A在圆外，点B在圆上，
∴直线会与圆O相交或相切．
故选：D．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，交于点，连接，求得的长度即可求得的取值范围，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，交于点，连接，
，
在中，，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理可得，
，
若线段与有2个交点，则，
即，
，
x的值可能是，
故选：C．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点为的外心，，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，
∴，
故选：．
5．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．当与相切时，D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以．
【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，，
，
又，
，
，
故A选项错误；
B选项：点运动到时，点到达，，
，
，
，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
，，
，
设，则，
与相切，
，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
故C选项正确；
D选项：如下图所示，当时，，
在中，，
，
，，
,
故D选项错误．
故选：C．
二、填空题
6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长．
【详解】解：与，，分别相切于点，，，
，，，
的周长为14，
，
，
．
故答案为：5．
7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，，
，，，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆与圆的位置关系以及矩形的性质，要确定两圆相交且至少有一个交点在指定三角形内或边上时 AD 的取值范围，需要考虑两圆的圆心距、半径之间的关系，通过分析不同位置情况来求解，进而确定(即) 的取值范围．
【详解】解：当交点在点时，此时与相切，，
∵与相切，，，
∴，
又∵以为半径，
∴．
此时取得了大值为2，
即的最大值为2；
如图，当交点在边上时，，
此时取得了小值为，
即的最小值为；
综上所述：，即
故答案为：．
9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理，连接，根据切线的性质可知，根据，可以求出，根据三角形外角的性质可以求出，根据三角形内角和定理可证，根据三角形外角的性质可以求出，从而可证，利用勾股定理可得：，从而可求的长度为．
【详解】解：如图所示，连接，
则，
与相切于点，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（25-26九年级上·全国·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质．
过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，
∵弦，
∴，，
∴小是的内切圆，四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，，
设，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
三、解答题
11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径．
【答案】3．
【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出．
【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示．
易得四边形是正方形，
．
在中，
，
．
由切线长定理，得，
即，
解得，
的半径为．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键．
12．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3.4
【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题．
（2）作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵是的切线，
，
，
，
．
，
，
，
平分．
（2）解：如图2，过O作于点E，

设的半径为x，
，，
，
由（1），可得，
四边形是矩形，
，，则，
，
解得，
的半径是．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题．
13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆的切线的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
（1）过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得是的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）过点作于点，先求出，再设的半径为，则，，然后在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的半径，
又∵，
∴与相切．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）已证：，
∴，，
∵，
∴，
∵中，，，，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴．
14．（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）如图：连接交于点，根据题意可得，进而得到，再根据平行四边形的性质可得即可证明结论；
（2）如图：连接，由平行四边形的性质可得、，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，设的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接交于点，
∵A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设的半径为，则，
在中，，
∴，解得：，
∴的半径为．
15．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，．
(1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）．
(2)求证：与相切．
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点；
（2）由（1）可得结论；
（3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解．
【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、，
∴，
∵线段、与相切，切点分别为、，，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是的直径，即点在上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴与相切于点，
则即为所作；
（2）证明：由（1）知：即，且点在上，
∴与相切；
（3）解：设的半径为，
过点作于点，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵、、都是的切线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
16．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且．
(1)求证：点是的中点．
(2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：．
(3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可；
（3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数．
【详解】（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
∵，
即，
点F是的中点．
（2）证明：如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27768" 典例详解
\l "_Tc950" 类型一、直线和圆的位置关系
\l "_Tc27721" 类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
\l "_Tc17114" 类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
\l "_Tc31931" 类型四、切线的性质和判定的综合应用
\l "_Tc2825" 类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
\l "_Tc3646" 类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
\l "_Tc5229" 压轴专练
知识点总结
1.三种位置关系：直线与圆有相离（无公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三种情况，核心判定依据是圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d>r相离，d=r相切，d